Номер 5, страница 20 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

5. Два тела с одинаковыми массами подвешены к двум одинаковым пружинам. Тела смещают вниз: одно на расстояние $x_1 = 10$ см, другое — на $x_2 = 20$ см, затем одновременно отпускают. Какое из них первым пройдёт положение равновесия?

Дано

Найти:

Какое из тел первым пройдет положение равновесия? Необходимо сравнить времена $t_1$ и $t_2$, за которые тела достигнут положения равновесия.

Решение

Движение тела, подвешенного на пружине, после смещения из положения равновесия является гармоническим колебанием. Период таких колебаний для пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ — масса тела, а $k$ — жесткость пружины.

Из этой формулы видно, что период колебаний зависит только от массы тела и жесткости пружины. Он не зависит от амплитуды колебаний (начального смещения $x$).

Поскольку в задаче дано, что массы тел одинаковы ($m_1 = m_2 = m$) и пружины также одинаковы ($k_1 = k_2 = k$), то периоды их колебаний будут равны:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Следовательно, $T_1 = T_2$.

Тела отпускают из положения максимального смещения (амплитудного положения). Время, за которое тело проходит расстояние от точки максимального смещения до положения равновесия, составляет ровно одну четверть периода колебаний ($T/4$).

Время для первого тела: $t_1 = \frac{T_1}{4}$

Время для второго тела: $t_2 = \frac{T_2}{4}$

Так как $T_1 = T_2$, то и времена движения до положения равновесия будут одинаковы: $t_1 = t_2$.

Это означает, что оба тела достигнут положения равновесия одновременно.

Ответ: Оба тела пройдут положение равновесия одновременно, так как период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды.