Номер 6, страница 21 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

6. Один математический маятник совершил за некоторое время $N_1 = 20$ колебаний, а второй за то же время совершил $N_2 = 16$ колебаний. Определите длину $l_2$ второго маятника, если известно, что разность длин маятников $\Delta l = 10$ см.

Дано:

Число колебаний первого маятника $N_1 = 20$
Число колебаний второго маятника $N_2 = 16$
Разность длин маятников $\Delta l = 10 \text{ см}$

$\Delta l = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$l_2$ - ?

Решение:

Период колебаний $T$ математического маятника зависит от его длины $l$ и ускорения свободного падения $g$ согласно формуле: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Период также можно определить как отношение общего времени колебаний $t$ к числу совершенных за это время колебаний $N$: $T = \frac{t}{N}$

Согласно условию, оба маятника совершают колебания в течение одинакового промежутка времени $t$. Это позволяет нам записать равенство: $t = T_1 N_1 = T_2 N_2$

Из этого равенства выразим отношение периодов: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{N_2}{N_1}$

Теперь подставим в это соотношение формулу периода через длину маятника: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{l_1/g}}{2\pi\sqrt{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$

Приравнивая два полученных выражения для отношения периодов, имеем: $\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{N_2}{N_1}$

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Первый маятник совершает больше колебаний за то же время ($N_1 > N_2$), что означает, что его период колебаний меньше ($T_1 < T_2$). Так как период прямо пропорционален квадратному корню из длины ($T \propto \sqrt{l}$), то и длина первого маятника короче, чем у второго ($l_1 < l_2$). Следовательно, разность длин $\Delta l$ равна: $\Delta l = l_2 - l_1$

Из этого выражения найдем $l_1$: $l_1 = l_2 - \Delta l$

Подставим выражение для $l_1$ в формулу отношения длин: $\frac{l_2 - \Delta l}{l_2} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Разделив левую часть уравнения почленно, получим: $1 - \frac{\Delta l}{l_2} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Выразим из этого уравнения искомую величину $l_2$: $\frac{\Delta l}{l_2} = 1 - \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$ $l_2 = \frac{\Delta l}{1 - \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ: $l_2 = \frac{0.1 \text{ м}}{1 - \left(\frac{16}{20}\right)^2} = \frac{0.1}{1 - (0.8)^2} = \frac{0.1}{1 - 0.64} = \frac{0.1}{0.36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \text{ м}$

Результат можно представить в сантиметрах для наглядности: $l_2 = \frac{5}{18} \text{ м} \approx 0.278 \text{ м} = 27.8 \text{ см}$

Ответ: длина второго маятника $l_2 \approx 27.8 \text{ см}$.