Номер 8, страница 21 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

8. Определите длину $l$ секундного маятника, установленного в Минске, где ускорение свободного падения $g = 9,815 \frac{\text{М}}{\text{с}^2}$. Найдите относительную погрешность расчета, в котором ускорение свободного падения было бы принято равным $g = 10 \frac{\text{М}}{\text{с}^2}$.

Дано:

Ускорение свободного падения в Минске: $g = 9,815 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Приближенное значение ускорения свободного падения для расчета: $g_{\text{прибл}} = 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Период секундного маятника: $T = 2 \, \text{с}$ (по определению)

Найти:

1. Длину секундного маятника $l$.

2. Относительную погрешность $\epsilon$ расчета длины при использовании $g_{\text{прибл}}$.

Решение:

Определение длины 𝑙 секундного маятника

Секундным маятником называется математический маятник, период полного колебания которого составляет ровно 2 секунды ($T = 2 \, \text{с}$). Период колебаний математического маятника связан с его длиной $l$ и ускорением свободного падения $g$ формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Для нахождения длины $l$ выразим ее из данной формулы. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = 4\pi^2\frac{l}{g}$

Теперь выразим $l$:

$l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$l = \frac{(2 \, \text{с})^2 \cdot 9,815 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{4\pi^2} = \frac{4 \cdot 9,815}{4\pi^2} \, \text{м} = \frac{9,815}{\pi^2} \, \text{м}$

Используя значение $\pi \approx 3,14159$, получим $\pi^2 \approx 9,8696$.

$l \approx \frac{9,815}{9,8696} \approx 0,994467 \, \text{м}$

Округлим результат до четырех значащих цифр, как и в исходном значении $g$:

$l \approx 0,9945 \, \text{м}$

Ответ: длина секундного маятника в Минске составляет приблизительно $0,9945 \, \text{м}$.

Нахождение относительной погрешности расчета

Относительная погрешность расчета длины маятника определяется как отношение абсолютной погрешности к более точному значению. Сначала найдем длину маятника $l_{\text{прибл}}$, которая была бы получена при использовании приближенного значения $g_{\text{прибл}} = 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$:

$l_{\text{прибл}} = \frac{T^2 g_{\text{прибл}}}{4\pi^2} = \frac{(2 \, \text{с})^2 \cdot 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{4\pi^2} = \frac{10}{\pi^2} \, \text{м}$

Формула для относительной погрешности $\epsilon$:

$\epsilon = \left|\frac{l_{\text{прибл}} - l}{l}\right|$

Подставим выражения для $l_{\text{прибл}}$ и $l$:

$\epsilon = \left|\frac{\frac{10}{\pi^2} - \frac{9,815}{\pi^2}}{\frac{9,815}{\pi^2}}\right| = \left|\frac{\frac{1}{\pi^2}(10 - 9,815)}{\frac{1}{\pi^2}(9,815)}\right| = \left|\frac{10 - 9,815}{9,815}\right|$

Заметим, что относительная погрешность расчета длины равна относительной погрешности значения ускорения свободного падения, так как $l$ прямо пропорционально $g$.

$\epsilon = \left|\frac{g_{\text{прибл}} - g}{g}\right| = \frac{0,185}{9,815} \approx 0,0188487$

Чтобы выразить погрешность в процентах, результат необходимо умножить на 100%:

$\epsilon \approx 0,0188487 \cdot 100\% \approx 1,88487\%$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$\epsilon \approx 1,9\%$

Ответ: относительная погрешность расчета составляет приблизительно $1,9\%$.