Номер 8, страница 26 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

8. Определите полную механическую энергию $W_{\text{мех}}$ гармонических колебаний материальной точки, если известны ее масса $m$, частота $\nu$ и амплитуда $A$ колебаний.

Дано:

Масса материальной точки: $m$

Частота гармонических колебаний: $\nu$

Амплитуда колебаний: $A$

Найти:

Полную механическую энергию колебаний: $W_{мех}$

Решение:

Полная механическая энергия $W_{мех}$ системы, совершающей гармонические колебания, является суммой ее кинетической энергии $W_к$ и потенциальной энергии $W_п$:

$W_{мех} = W_к + W_п$

В случае гармонических колебаний без затухания (без действия диссипативных сил, таких как трение) полная механическая энергия системы сохраняется, то есть ее величина остается постоянной во времени. Это означает, что полная энергия в любой момент времени равна ее максимальному значению кинетической энергии (которое достигается при прохождении телом положения равновесия) или максимальному значению потенциальной энергии (которое достигается в точках максимального отклонения от положения равновесия).

$W_{мех} = W_{к, макс} = W_{п, макс}$

Проще всего найти полную энергию через максимальную кинетическую энергию. Кинетическая энергия материальной точки определяется по формуле:

$W_к = \frac{1}{2}mv^2$

где $m$ - масса точки, а $v$ - ее скорость.

Максимальная кинетическая энергия достигается, когда скорость максимальна. Амплитудное (максимальное) значение скорости $v_{макс}$ при гармонических колебаниях связано с амплитудой колебаний $A$ и циклической (угловой) частотой $\omega$ следующим соотношением:

$v_{макс} = A\omega$

Тогда максимальная кинетическая энергия, равная полной механической энергии, будет:

$W_{мех} = W_{к, макс} = \frac{1}{2}m v_{макс}^2 = \frac{1}{2}m(A\omega)^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2$

В условии задачи дана линейная частота $\nu$, а не циклическая $\omega$. Связь между этими частотами выражается формулой:

$\omega = 2\pi\nu$

Подставим это выражение в формулу для полной энергии:

$W_{мех} = \frac{1}{2}mA^2(2\pi\nu)^2 = \frac{1}{2}mA^2(4\pi^2\nu^2)$

После упрощения получаем окончательную формулу для полной механической энергии через заданные величины:

$W_{мех} = 2\pi^2m\nu^2A^2$

Ответ: $W_{мех} = 2\pi^2m\nu^2A^2$.