Номер 6, страница 25 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

6. Груз массой $m = 100$ г, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, закреплен на пружине жесткостью $k = 100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$, прикрепленной к опоре. Его смещают из положения равновесия на расстояние $x_1 = 5,0$ см и сообщают ему в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой $v_1 = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Чему равны потенциальная $W_{\text{п}}$ и кинетическая $W_{\text{к}}$ энергия груза в этот момент времени? Запишите кинематический закон его движения.

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$k = 100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$
$x_1 = 5.0 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$v_1 = 1.0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$W_п$ - ?
$W_к$ - ?
$x(t)$ - ?

Решение:

Чему равны потенциальная $W_п$ и кинетическая $W_к$ энергия груза в этот момент времени?

Потенциальная энергия пружины вычисляется по формуле: $W_п = \frac{kx^2}{2}$

В рассматриваемый момент времени смещение груза от положения равновесия составляет $x_1 = 0.05$ м. Подставим значения в формулу: $W_п = \frac{100 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot (0.05 \text{ м})^2}{2} = \frac{100 \cdot 0.0025}{2} = \frac{0.25}{2} = 0.125 \text{ Дж}$

Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле: $W_к = \frac{mv^2}{2}$

В этот же момент времени скорость груза равна $v_1 = 1.0$ м/с. Подставим значения в формулу: $W_к = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot (1.0 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2} = \frac{0.1 \cdot 1}{2} = 0.05 \text{ Дж}$

Ответ: Потенциальная энергия $W_п = 0.125$ Дж, кинетическая энергия $W_к = 0.05$ Дж.

Запишите кинематический закон его движения.

Движение груза на пружине является гармоническим колебанием. Кинематический закон (уравнение движения) можно записать в общем виде: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Сначала найдем циклическую частоту колебаний: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}{0.1 \text{ кг}}} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10} \approx 31.6 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Для нахождения параметров $A$ и $\phi_0$ воспользуемся законом сохранения энергии и начальными условиями. Полная механическая энергия системы $E$ сохраняется и равна сумме потенциальной и кинетической энергий в начальный момент: $E = W_п + W_к = 0.125 \text{ Дж} + 0.05 \text{ Дж} = 0.175 \text{ Дж}$

Полная энергия также равна максимальной потенциальной энергии, когда груз достигает амплитудного смещения: $E = \frac{kA^2}{2}$

Отсюда можем найти амплитуду $A$: $A = \sqrt{\frac{2E}{k}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.175 \text{ Дж}}{100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}} = \sqrt{\frac{0.35}{100}} = \sqrt{0.0035} \text{ м} \approx 0.059 \text{ м}$

Теперь найдем начальную фазу $\phi_0$. В начальный момент времени $t=0$: $x(0) = x_1 = A \cos(\phi_0)$
$v(0) = v_1 = -A\omega \sin(\phi_0)$

Из первого уравнения: $\cos(\phi_0) = \frac{x_1}{A} = \frac{0.05}{\sqrt{0.0035}} \approx \frac{0.05}{0.059} \approx 0.847$

Из второго уравнения: $\sin(\phi_0) = -\frac{v_1}{A\omega} = -\frac{1.0}{\sqrt{0.0035} \cdot \sqrt{1000}} = -\frac{1.0}{\sqrt{3.5}} \approx -0.535$

Так как $\cos(\phi_0) > 0$ и $\sin(\phi_0) < 0$, начальная фаза находится в IV четверти. $\phi_0 = \arctan\left(\frac{\sin(\phi_0)}{\cos(\phi_0)}\right) = \arctan\left(-\frac{v_1}{\omega x_1}\right) = \arctan\left(-\frac{1.0}{\sqrt{1000} \cdot 0.05}\right) \approx \arctan(-0.632) \approx -0.56 \text{ рад}$

Подставляя найденные значения в общую формулу, получаем кинематический закон движения (с округленными значениями): $x(t) = 0.059 \cos(31.6 t - 0.56)$ (где $x$ в метрах, $t$ в секундах)

Ответ: Кинематический закон движения груза: $x(t) = 0.059 \cos(31.6 t - 0.56)$.