Номер 7, страница 26 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

7. Пружинный маятник, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, вывели из положения равновесия и без толчка отпустили. Через какую часть $n$ периода $T$ кинетическая энергия прикрепленного к пружине тела будет равна потенциальной энергии $W_{\text{п}}$ деформированной пружины?

Дано:

Пружинный маятник, движение которого начинается из положения максимального отклонения без начальной скорости.

Период колебаний: $T$

Условие: кинетическая энергия тела равна потенциальной энергии пружины ($W_к = W_п$).

Найти:

Часть периода $n$, через которую выполнится условие, то есть $t = nT$.

Решение:

Поскольку пружинный маятник выводят из положения равновесия (максимальное отклонение) и отпускают без начальной скорости, его колебания являются гармоническими. Уравнение движения для координаты $x$ тела можно записать в виде:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

где $A$ — амплитуда колебаний (равная начальному смещению), а $\omega$ — циклическая частота.

Кинетическая энергия тела ($W_к$) и потенциальная энергия деформированной пружины ($W_п$) определяются формулами:

$W_к = \frac{mv^2}{2}$, $W_п = \frac{kx^2}{2}$

где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость, $k$ — жёсткость пружины.

Полная механическая энергия $W$ маятника в любой момент времени является суммой кинетической и потенциальной энергий и остается постоянной (по закону сохранения энергии):

$W = W_к + W_п$

Полная энергия также равна максимальной потенциальной энергии, которая достигается при максимальном отклонении $x = A$:

$W = \frac{kA^2}{2}$

По условию задачи, необходимо найти момент времени $t$, когда кинетическая энергия равна потенциальной:

$W_к = W_п$

Подставим это условие в закон сохранения энергии:

$W = W_п + W_п = 2W_п$

Отсюда следует, что в искомый момент времени потенциальная энергия составляет половину от полной энергии системы:

$W_п = \frac{W}{2}$

Теперь подставим выражения для $W_п$ и $W$:

$\frac{kx^2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{kA^2}{2} \right)$

Сокращая, получаем уравнение для координаты $x$, в которой выполняется заданное условие:

$x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$

Чтобы найти время, подставим это значение координаты в уравнение движения:

$A \cos(\omega t) = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$

$\cos(\omega t) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Нас интересует первый момент времени $t > 0$, когда это условие выполняется. Наименьший положительный угол, косинус которого по модулю равен $\frac{1}{\sqrt{2}}$, это $\frac{\pi}{4}$.

$\omega t = \frac{\pi}{4}$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это в наше уравнение:

$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{4}$

Выразим отсюда время $t$:

$t = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{8}$

Из соотношения $t=nT$ следует, что $n = \frac{1}{8}$.

Ответ: $n = \frac{1}{8}$.