Номер 4, страница 25 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

4. Тело совершает гармонические колебания. Определите отношение кинетической энергии к ее потенциальной энергии для моментов времени, когда смещение тела от положения равновесия составляет:

а) $x = \frac{A}{2}$;

б) $x = \frac{3A}{4}$;

в) $x = A$.

Дано:

Тело совершает гармонические колебания.
Амплитуда колебаний - $A$.
Смещения тела от положения равновесия:
а) $x_a = \frac{A}{2}$
б) $x_b = \frac{3A}{4}$
в) $x_c = A$

Найти:

Отношение кинетической энергии к потенциальной $\frac{E_k}{E_p}$ для каждого случая.

Решение:

Полная механическая энергия тела, совершающего гармонические колебания, является постоянной величиной. Она равна сумме кинетической и потенциальной энергий: $E_{полная} = E_k + E_p$. Полная энергия также равна максимальной потенциальной энергии, которая достигается при максимальном смещении (в точках $x = \pm A$): $E_{полная} = \frac{kA^2}{2}$, где $k$ – коэффициент жесткости системы (например, пружины).

Потенциальная энергия тела в зависимости от смещения $x$ от положения равновесия определяется формулой: $E_p = \frac{kx^2}{2}$

Кинетическую энергию можно выразить из закона сохранения энергии: $E_k = E_{полная} - E_p = \frac{kA^2}{2} - \frac{kx^2}{2} = \frac{k(A^2 - x^2)}{2}$

Теперь найдем общее выражение для искомого отношения кинетической энергии к потенциальной: $\frac{E_k}{E_p} = \frac{\frac{k(A^2 - x^2)}{2}}{\frac{kx^2}{2}} = \frac{A^2 - x^2}{x^2} = \frac{A^2}{x^2} - 1$

Используя эту формулу, рассчитаем отношение для каждого из заданных смещений.

а) $x = \frac{A}{2}$

Подставляем значение смещения в полученную формулу:
$\frac{E_k}{E_p} = \frac{A^2 - (\frac{A}{2})^2}{(\frac{A}{2})^2} = \frac{A^2 - \frac{A^2}{4}}{\frac{A^2}{4}} = \frac{\frac{3A^2}{4}}{\frac{A^2}{4}} = 3$.
Ответ: 3.

б) $x = \frac{3A}{4}$

Подставляем значение смещения в формулу:
$\frac{E_k}{E_p} = \frac{A^2 - (\frac{3A}{4})^2}{(\frac{3A}{4})^2} = \frac{A^2 - \frac{9A^2}{16}}{\frac{9A^2}{16}} = \frac{\frac{16A^2 - 9A^2}{16}}{\frac{9A^2}{16}} = \frac{\frac{7A^2}{16}}{\frac{9A^2}{16}} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.

в) $x = A$

В точке максимального отклонения ($x=A$) тело на мгновение останавливается, поэтому его скорость равна нулю, а следовательно, и кинетическая энергия равна нулю ($E_k=0$).
$\frac{E_k}{E_p} = \frac{0}{E_p} = 0$.
Также можно использовать общую формулу:
$\frac{E_k}{E_p} = \frac{A^2 - A^2}{A^2} = \frac{0}{A^2} = 0$.
Ответ: 0.