Номер 14, страница 45 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

14. Запишите с помощью только цифр $1$, $2$, $4$ трёх-значные числа, кратные:

а) $2$ и $3$;

б) $9$ и $4$.

а) 2 и 3
Чтобы число было кратно 2, оно должно оканчиваться на чётную цифру. Из предложенных цифр {1, 2, 4} чётными являются 2 и 4.
Чтобы число было кратно 3, сумма его цифр должна быть кратна 3.
Нам нужно составить трёхзначные числа из цифр 1, 2, 4, которые оканчиваются на 2 или 4, и сумма цифр которых делится на 3.
Рассмотрим возможные комбинации трёх цифр из набора {1, 2, 4} (цифры могут повторяться), сумма которых кратна 3:
1. 1, 1, 1: сумма $1+1+1=3$. Число 111. Оканчивается на 1 (нечётная). Не подходит.
2. 1, 1, 4: сумма $1+1+4=6$. Можно составить числа 114, 141, 411. Из них на чётную цифру (4) оканчивается только 114. Оно нам подходит.
3. 1, 2, 2: сумма $1+2+2=5$. Не кратна 3.
4. 1, 4, 4: сумма $1+4+4=9$. Можно составить числа 144, 414, 441. На чётную цифру (4) оканчиваются 144 и 414. Оба подходят.
5. 2, 2, 2: сумма $2+2+2=6$. Число 222. Оканчивается на 2 (чётная). Подходит.
6. 2, 4, 4: сумма $2+4+4=10$. Не кратна 3.
7. 4, 4, 4: сумма $4+4+4=12$. Число 444. Оканчивается на 4 (чётная). Подходит.
8. 1, 2, 4: сумма $1+2+4=7$. Не кратна 3.
Таким образом, мы нашли следующие числа: 114, 144, 414, 222, 444.
Ответ: 114, 144, 222, 414, 444.

б) 9 и 4
Чтобы число было кратно 9, сумма его цифр должна быть кратна 9.
Рассмотрим суммы цифр, как в предыдущем пункте. Единственная комбинация цифр из набора {1, 2, 4}, сумма которых кратна 9, это 1, 4, 4 ($1+4+4=9$). Максимально возможная сумма $4+4+4=12$, так что другие кратные 9 суммы (18, 27, ...) невозможны.
Следовательно, искомые числа должны состоять из цифр 1, 4, 4.
Чтобы число было кратно 4, число, образованное двумя его последними цифрами, должно быть кратно 4.
Составим все возможные трёхзначные числа из цифр 1, 4, 4:
1. 144: две последние цифры образуют число 44. $44 \div 4 = 11$. Число 144 кратно 4.
2. 414: две последние цифры образуют число 14. $14$ не делится на 4.
3. 441: две последние цифры образуют число 41. $41$ не делится на 4.
Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 144. Оно состоит из цифр 1, 4, 4, сумма его цифр равна 9, и оно оканчивается на 44, что кратно 4.
Ответ: 144.