Номер 7, страница 44 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

7. Из цифр 2, 3, 4, 5 составьте все трёхзначные

числа, делящиеся:

а) на 3;

б) на 5;

в) и на 3, и на 5.

а) на 3;

Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Мы можем составлять трёхзначные числа из цифр 2, 3, 4, 5, причём цифры в числе могут повторяться.

Пусть трёхзначное число состоит из цифр $a, b, c$, каждая из которых принадлежит множеству $\{2, 3, 4, 5\}$. Сумма цифр $S = a + b + c$ должна быть кратна 3.

Наименьшая возможная сумма цифр: $2 + 2 + 2 = 6$.

Наибольшая возможная сумма цифр: $5 + 5 + 5 = 15$.

Таким образом, возможные значения суммы цифр, кратные 3, это 6, 9, 12 и 15.

Рассмотрим все комбинации цифр для каждой суммы и составим из них числа:

1. Сумма цифр равна 6.
   • Комбинация цифр: {2, 2, 2}. Число: 222.
2. Сумма цифр равна 9.
   • Комбинация цифр: {2, 2, 5}. Числа: 225, 252, 522.
   • Комбинация цифр: {2, 3, 4}. Числа: 234, 243, 324, 342, 423, 432.
   • Комбинация цифр: {3, 3, 3}. Число: 333.
3. Сумма цифр равна 12.
   • Комбинация цифр: {2, 5, 5}. Числа: 255, 525, 552.
   • Комбинация цифр: {3, 4, 5}. Числа: 345, 354, 435, 453, 534, 543.
   • Комбинация цифр: {4, 4, 4}. Число: 444.
4. Сумма цифр равна 15.
   • Комбинация цифр: {5, 5, 5}. Число: 555.

Объединим все найденные числа и запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 222, 225, 234, 243, 252, 255, 324, 333, 342, 345, 354, 423, 432, 435, 444, 453, 522, 525, 534, 543, 552, 555.

б) на 5;

Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. В нашем наборе цифр {2, 3, 4, 5} есть цифра 5. Значит, все искомые трёхзначные числа должны оканчиваться на 5.

Пусть число имеет вид $\overline{ab5}$, где $a$ и $b$ — цифры из набора {2, 3, 4, 5}.

На место первой цифры ($a$) можно поставить любую из 4 цифр.

На место второй цифры ($b$) можно поставить любую из 4 цифр.

Третья цифра фиксирована — это 5.

Общее количество таких чисел: $4 \times 4 \times 1 = 16$.

Перечислим все эти числа:

• Если первая цифра 2: 225, 235, 245, 255.
• Если первая цифра 3: 325, 335, 345, 355.
• Если первая цифра 4: 425, 435, 445, 455.
• Если первая цифра 5: 525, 535, 545, 555.

Ответ: 225, 235, 245, 255, 325, 335, 345, 355, 425, 435, 445, 455, 525, 535, 545, 555.

в) и на 3, и на 5.

Число делится одновременно на 3 и на 5, если оно удовлетворяет обоим признакам делимости:

1. Оно должно оканчиваться на 5 (признак делимости на 5).
2. Сумма его цифр должна делиться на 3 (признак делимости на 3).

Мы можем выбрать из списка чисел, делящихся на 5 (пункт б), те, которые также делятся на 3. Для этого проверим сумму цифр у каждого числа из этого списка.

• 225: $2+2+5=9$. Делится на 3. Подходит.
• 235: $2+3+5=10$. Не делится на 3.
• 245: $2+4+5=11$. Не делится на 3.
• 255: $2+5+5=12$. Делится на 3. Подходит.
• 325: $3+2+5=10$. Не делится на 3.
• 335: $3+3+5=11$. Не делится на 3.
• 345: $3+4+5=12$. Делится на 3. Подходит.
• 355: $3+5+5=13$. Не делится на 3.
• 425: $4+2+5=11$. Не делится на 3.
• 435: $4+3+5=12$. Делится на 3. Подходит.
• 445: $4+4+5=13$. Не делится на 3.
• 455: $4+5+5=14$. Не делится на 3.
• 525: $5+2+5=12$. Делится на 3. Подходит.
• 535: $5+3+5=13$. Не делится на 3.
• 545: $5+4+5=14$. Не делится на 3.
• 555: $5+5+5=15$. Делится на 3. Подходит.

Таким образом, мы нашли все числа, удовлетворяющие обоим условиям.

Ответ: 225, 255, 345, 435, 525, 555.