Номер 9, страница 44 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получить число, кратное числам 2, 4, 5 и 9:

а) $1*40$;

б) $243*:$

Чтобы найти такую цифру, нужно воспользоваться признаками делимости чисел. Искомое число должно быть кратно 2, 4, 5 и 9, то есть делиться на каждое из этих чисел без остатка.

• Признак делимости на 2: число оканчивается на чётную цифру (0, 2, 4, 6, 8).
• Признак делимости на 5: число оканчивается на 0 или 5.
• Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4.
• Признак делимости на 9: сумма всех цифр числа делится на 9.

Если число должно делиться одновременно и на 2, и на 5, его последняя цифра должна быть 0.

a) 1*40;

Обозначим неизвестную цифру как $x$. Получаем число вида $1x40$.

1. Проверим делимость на 2 и 5. Число оканчивается на 0, значит, оно делится и на 2, и на 5. Это условие выполняется.
2. Проверим делимость на 4. Две последние цифры образуют число 40. Так как $40 \div 4 = 10$, число 40 делится на 4. Следовательно, число $1x40$ делится на 4 при любом значении $x$.
3. Проверим делимость на 9. Сумма цифр числа должна делиться на 9. Найдем сумму цифр:
   $1 + x + 4 + 0 = 5 + x$.
   Выражение $5 + x$ должно быть кратно 9. Так как $x$ — это цифра, то $x$ может принимать значения от 0 до 9.
   Переберем возможные значения $x$:
   Если $x=0$, сумма $5+0=5$ (не делится на 9).
   Если $x=1$, сумма $5+1=6$ (не делится на 9).
   Если $x=2$, сумма $5+2=7$ (не делится на 9).
   Если $x=3$, сумма $5+3=8$ (не делится на 9).
   Если $x=4$, сумма $5+4=9$. Число 9 делится на 9. Этот вариант подходит.
   Если $x=5$, сумма $5+5=10$ (не делится на 9).
   Дальнейшие значения $x$ также не дадут сумму, кратную 9 (максимальная сумма будет $5+9=14$).
   Единственная подходящая цифра — это 4. Искомое число — 1440.

Ответ: 4.

б) 243*.;

Обозначим неизвестную цифру как $y$. Получаем число вида $243y$.

1. Проверим делимость на 2 и 5. Чтобы число делилось и на 2, и на 5, оно должно оканчиваться на 0. Следовательно, $y$ должен быть равен 0.
   Таким образом, единственным кандидатом является число 2430.
2. Теперь проверим, делится ли число 2430 на 4. Для этого посмотрим на число, образованное двумя последними цифрами, — 30.
   Число 30 не делится на 4 без остатка ($30 \div 4 = 7$ и остаток 2).
   Следовательно, число 2430 не кратно 4.

Мы пришли к выводу, что единственная цифра (0), которая обеспечивает делимость на 2 и 5, не позволяет числу делиться на 4. Таким образом, подобрать цифру, удовлетворяющую всем условиям одновременно, невозможно.

Ответ: такой цифры не существует.