Номер 10, страница 44 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

10. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы число $3*0*$ делилось на 9. Найдите все возможные решения.

Для того чтобы число делилось на 9, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Это основной признак делимости на 9.

В задаче дано число в виде $3*0*$. Обозначим первую неизвестную цифру (в разряде сотен) за $a$, а вторую неизвестную цифру (в разряде единиц) за $b$. Таким образом, мы ищем четырехзначные числа вида $\overline{3a0b}$.

Сумма цифр этого числа будет равна $S = 3 + a + 0 + b = 3 + a + b$. Согласно признаку делимости, эта сумма $S$ должна быть кратна 9.

Поскольку $a$ и $b$ — это цифры, они могут принимать любые целые значения от 0 до 9. Давайте определим возможные значения для суммы $a+b$:

• Минимальное значение $a+b$ равно $0+0=0$.
• Максимальное значение $a+b$ равно $9+9=18$.

Тогда общая сумма цифр $S = 3 + a + b$ будет находиться в диапазоне от $3+0=3$ до $3+18=21$.

Внутри этого диапазона [3, 21] есть два числа, которые делятся на 9: это 9 и 18. Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Сумма цифр равна 9.
Если $S=9$, то получаем уравнение:$3 + a + b = 9$$a + b = 6$Теперь найдем все пары цифр ($a, b$), сумма которых равна 6:

• Если $a=0, b=6$ (число 3006)
• Если $a=1, b=5$ (число 3105)
• Если $a=2, b=4$ (число 3204)
• Если $a=3, b=3$ (число 3303)
• Если $a=4, b=2$ (число 3402)
• Если $a=5, b=1$ (число 3501)
• Если $a=6, b=0$ (число 3600)

Случай 2: Сумма цифр равна 18.
Если $S=18$, то получаем уравнение:$3 + a + b = 18$$a + b = 15$Теперь найдем все пары цифр ($a, b$), сумма которых равна 15:

• Если $a=6, b=9$ (число 3609)
• Если $a=7, b=8$ (число 3708)
• Если $a=8, b=7$ (число 3807)
• Если $a=9, b=6$ (число 3906)

Объединив все найденные в обоих случаях числа, мы получим полный список всех возможных решений.

Ответ: 3006, 3105, 3204, 3303, 3402, 3501, 3600, 3609, 3708, 3807, 3906.