Номер 15, страница 101 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

15. Определите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби и сократите дробь:

а) $\frac{4}{6}$, $\frac{8}{12}$, $\frac{18}{30}$, $\frac{40}{140}$, $\frac{125}{500}$;

б) $\frac{6}{9}$, $\frac{16}{20}$, $\frac{15}{27}$, $\frac{80}{180}$, $\frac{200}{350}$.

a)

Для дроби $\frac{4}{6}$.
1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) числителя 4 и знаменателя 6. Для этого разложим числа на простые множители:
$4 = 2 \cdot 2$
$6 = 2 \cdot 3$
Общий множитель для обоих чисел - это 2. Следовательно, НОД(4, 6) = 2.
2. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД:
$\frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$.
Ответ: НОД = 2; $\frac{2}{3}$.

Для дроби $\frac{8}{12}$.
1. Найдём НОД чисел 8 и 12, разложив их на простые множители:
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
Общие множители: 2 и 2. Их произведение равно $2 \cdot 2 = 4$. Значит, НОД(8, 12) = 4.
2. Сократим дробь:
$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$.
Ответ: НОД = 4; $\frac{2}{3}$.

Для дроби $\frac{18}{30}$.
1. Найдём НОД чисел 18 и 30:
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
Общие множители: 2 и 3. Их произведение равно $2 \cdot 3 = 6$. Значит, НОД(18, 30) = 6.
2. Сократим дробь:
$\frac{18}{30} = \frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5}$.
Ответ: НОД = 6; $\frac{3}{5}$.

Для дроби $\frac{40}{140}$.
1. Найдём НОД чисел 40 и 140:
$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$
$140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$
Общие множители: 2, 2 и 5. Их произведение равно $2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$. Значит, НОД(40, 140) = 20.
2. Сократим дробь:
$\frac{40}{140} = \frac{40 \div 20}{140 \div 20} = \frac{2}{7}$.
Ответ: НОД = 20; $\frac{2}{7}$.

Для дроби $\frac{125}{500}$.
1. Найдём НОД чисел 125 и 500:
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5$
$500 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$
Общие множители: 5, 5 и 5. Их произведение равно $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. Значит, НОД(125, 500) = 125.
2. Сократим дробь:
$\frac{125}{500} = \frac{125 \div 125}{500 \div 125} = \frac{1}{4}$.
Ответ: НОД = 125; $\frac{1}{4}$.

б)

Для дроби $\frac{6}{9}$.
1. Найдём НОД чисел 6 и 9:
$6 = 2 \cdot 3$
$9 = 3 \cdot 3$
Общий множитель - 3. НОД(6, 9) = 3.
2. Сократим дробь:
$\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: НОД = 3; $\frac{2}{3}$.

Для дроби $\frac{16}{20}$.
1. Найдём НОД чисел 16 и 20:
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$
Общие множители: 2 и 2. Их произведение равно $2 \cdot 2 = 4$. НОД(16, 20) = 4.
2. Сократим дробь:
$\frac{16}{20} = \frac{16 \div 4}{20 \div 4} = \frac{4}{5}$.
Ответ: НОД = 4; $\frac{4}{5}$.

Для дроби $\frac{15}{27}$.
1. Найдём НОД чисел 15 и 27:
$15 = 3 \cdot 5$
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$
Общий множитель - 3. НОД(15, 27) = 3.
2. Сократим дробь:
$\frac{15}{27} = \frac{15 \div 3}{27 \div 3} = \frac{5}{9}$.
Ответ: НОД = 3; $\frac{5}{9}$.

Для дроби $\frac{80}{180}$.
1. Найдём НОД чисел 80 и 180:
$80 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$
$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$
Общие множители: 2, 2 и 5. Их произведение равно $2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$. НОД(80, 180) = 20.
2. Сократим дробь:
$\frac{80}{180} = \frac{80 \div 20}{180 \div 20} = \frac{4}{9}$.
Ответ: НОД = 20; $\frac{4}{9}$.

Для дроби $\frac{200}{350}$.
1. Найдём НОД чисел 200 и 350:
$200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$
$350 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$
Общие множители: 2, 5 и 5. Их произведение равно $2 \cdot 5 \cdot 5 = 50$. НОД(200, 350) = 50.
2. Сократим дробь:
$\frac{200}{350} = \frac{200 \div 50}{350 \div 50} = \frac{4}{7}$.
Ответ: НОД = 50; $\frac{4}{7}$.