Номер 22, страница 103 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

22. Примените основное свойство дроби и решите уравнение:

а) $\frac{x-2}{24} = \frac{5}{8}$;

б) $\frac{9}{x+3} = \frac{27}{60}$;

в) $\frac{5x-7}{4} = \frac{24}{32}$;

г) $\frac{4}{3x-7} = \frac{32}{40}$.

а) $ \frac{x-2}{24} = \frac{5}{8} $

Применим основное свойство пропорции (правило креста): произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$ (x-2) \cdot 8 = 24 \cdot 5 $

Раскроем скобки в левой части и вычислим произведение в правой части:

$ 8x - 16 = 120 $

Перенесем -16 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$ 8x = 120 + 16 $

$ 8x = 136 $

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:

$ x = \frac{136}{8} $

$ x = 17 $

Ответ: $17$.

б) $ \frac{9}{x+3} = \frac{27}{60} $

Применим основное свойство пропорции:

$ 9 \cdot 60 = 27 \cdot (x+3) $

Вычислим произведение в левой части:

$ 540 = 27 \cdot (x+3) $

Разделим обе части уравнения на 27:

$ \frac{540}{27} = x+3 $

$ 20 = x+3 $

Чтобы найти $x$, вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$ x = 20 - 3 $

$ x = 17 $

Ответ: $17$.

в) $ \frac{5x-7}{4} = \frac{24}{32} $

Сначала применим основное свойство дроби для упрощения правой части. Разделим числитель и знаменатель дроби $ \frac{24}{32} $ на их наибольший общий делитель, равный 8:

$ \frac{24}{32} = \frac{24:8}{32:8} = \frac{3}{4} $

Теперь уравнение имеет вид:

$ \frac{5x-7}{4} = \frac{3}{4} $

Так как знаменатели дробей равны, то и их числители должны быть равны:

$ 5x - 7 = 3 $

Перенесем -7 в правую часть с противоположным знаком:

$ 5x = 3 + 7 $

$ 5x = 10 $

Найдем $x$, разделив обе части на 5:

$ x = \frac{10}{5} $

$ x = 2 $

Ответ: $2$.

г) $ \frac{4}{3x-7} = \frac{32}{40} $

Упростим дробь в правой части, используя основное свойство дроби. Разделим числитель и знаменатель на 8:

$ \frac{32}{40} = \frac{32:8}{40:8} = \frac{4}{5} $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{4}{3x-7} = \frac{4}{5} $

Поскольку числители дробей равны, их знаменатели также должны быть равны:

$ 3x - 7 = 5 $

Перенесем -7 в правую часть, изменив знак:

$ 3x = 5 + 7 $

$ 3x = 12 $

Найдем $x$, разделив обе части на 3:

$ x = \frac{12}{3} $

$ x = 4 $

Ответ: $4$.