Номер 24, страница 103 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

24. После сокращения некоторой дроби получили дробь $ \frac{3}{5} $. Найдите эту дробь, если известно, что её знаменатель на 12 больше числителя.

Пусть искомая дробь имеет вид $ \frac{a}{b} $.

По условию, после сокращения этой дроби получили дробь $ \frac{3}{5} $. Это означает, что числитель и знаменатель искомой дроби пропорциональны числам 3 и 5. То есть, существует такое натуральное число $k$, которое является общим множителем числителя и знаменателя, на который дробь была сокращена.

Следовательно, мы можем записать числитель и знаменатель искомой дроби как:
$a = 3k$
$b = 5k$

Также по условию известно, что знаменатель дроби на 12 больше числителя. Запишем это в виде уравнения:
$b = a + 12$

Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ через $k$ в это уравнение, чтобы найти значение $k$:
$5k = 3k + 12$

Решим полученное линейное уравнение:
$5k - 3k = 12$
$2k = 12$
$k = \frac{12}{2}$
$k = 6$

Теперь, зная значение $k=6$, мы можем найти исходные числитель и знаменатель:
Числитель: $a = 3k = 3 \cdot 6 = 18$
Знаменатель: $b = 5k = 5 \cdot 6 = 30$

Таким образом, искомая дробь — это $ \frac{18}{30} $.

Выполним проверку:
1. Сократим дробь $ \frac{18}{30} $, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6: $ \frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5} $. Условие выполнено.
2. Проверим разность знаменателя и числителя: $30 - 18 = 12$. Знаменатель действительно на 12 больше числителя. Условие выполнено.

Ответ: $ \frac{18}{30} $.