Номер 25, страница 103 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

25. После сокращения некоторой дроби получили дробь $\frac{5}{7}$. Найдите эту дробь, если известно, что её знаменатель на 14 больше числителя.

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{a}{b}$.

По условию задачи, после сокращения этой дроби получили дробь $\frac{5}{7}$. Это означает, что исходная дробь равна дроби $\frac{5}{7}$, умноженной на некоторое натуральное число $k$. То есть, числитель исходной дроби $a = 5k$, а знаменатель $b = 7k$.

Также известно, что знаменатель исходной дроби на 14 больше ее числителя. Это можно записать в виде уравнения:

$b = a + 14$

Подставим в это уравнение выражения для $a$ и $b$ через $k$:

$7k = 5k + 14$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $k$:

Перенесем слагаемое с $k$ в левую часть уравнения:

$7k - 5k = 14$

$2k = 14$

Найдем $k$:

$k = \frac{14}{2}$

$k = 7$

Мы нашли число, на которое была сокращена дробь. Теперь найдем числитель и знаменатель исходной дроби:

Числитель: $a = 5k = 5 \cdot 7 = 35$

Знаменатель: $b = 7k = 7 \cdot 7 = 49$

Следовательно, искомая дробь — это $\frac{35}{49}$.

Проверим выполнение условий. Знаменатель 49 больше числителя 35 на $49 - 35 = 14$. При сокращении дроби $\frac{35}{49}$ на общий делитель 7, получаем $\frac{35 \div 7}{49 \div 7} = \frac{5}{7}$. Условия задачи выполнены.

Ответ: $\frac{35}{49}$.