Номер 27, страница 103 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

27. При сокращении дроби $\frac{k}{36}$ получилась дробь $\frac{4}{k}$.

Найдите $k$.

Условие, что при сокращении дроби `$ \frac{k}{36} $` получилась дробь `$ \frac{4}{k} $`, означает, что эти две дроби равны.

Мы можем составить уравнение, приравняв эти две дроби:`$ \frac{k}{36} = \frac{4}{k} $`

Это пропорция. Чтобы найти неизвестную переменную `$k$`, воспользуемся основным свойством пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов (перекрестное умножение):`$ k \cdot k = 36 \cdot 4 $`

Выполним умножение в правой части уравнения:`$ k^2 = 144 $`

Теперь, чтобы найти `$k$`, нужно извлечь квадратный корень из 144. У этого уравнения есть два решения:`$ k = \sqrt{144} $` и `$ k = -\sqrt{144} $``$ k_1 = 12 $``$ k_2 = -12 $`

Проверим, подходят ли оба значения.

1. Проверка для `$ k = 12 $`:Исходная дробь: `$ \frac{k}{36} = \frac{12}{36} $`. Результат сокращения: `$ \frac{4}{k} = \frac{4}{12} $`. Действительно, если сократить дробь `$ \frac{12}{36} $`, разделив числитель и знаменатель на 3, мы получим `$ \frac{12 \div 3}{36 \div 3} = \frac{4}{12} $`. Это решение подходит.

2. Проверка для `$ k = -12 $`:Исходная дробь: `$ \frac{k}{36} = \frac{-12}{36} $`. Результат сокращения: `$ \frac{4}{k} = \frac{4}{-12} $`. Равенство `$ \frac{-12}{36} = \frac{4}{-12} $` верно, так как обе дроби равны `$ -\frac{1}{3} $`. Такое сокращение возможно, если разделить числитель и знаменатель исходной дроби на -3: `$ \frac{-12 \div (-3)}{36 \div (-3)} = \frac{4}{-12} $`.

Однако, как правило, под термином "сокращение дроби" понимают деление числителя и знаменателя на их общий положительный делитель. Пусть `$d$` — это число, на которое сократили дробь. Тогда `$ \frac{36}{d} = k $`. Если `$d > 0$`, то и `$k$` должно быть положительным (`$k = 36/d > 0$`). Исходя из этого стандартного определения, отрицательный корень `$ k = -12 $` не подходит.

Ответ: 12