Номер 3, страница 123 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

3. Найдите значение числового выражения:

а) $ \left(\left(1\frac{1}{3}\right)^3 - \frac{5}{9}\right) : \frac{7}{9} $;

б) $ \left(\left(1\frac{1}{3}\right)^3 - \frac{5}{9}\right) : 1\frac{5}{9} $.

а) $\left(\left(1\frac{1}{3}\right)^3 - \frac{5}{9}\right) : \frac{7}{9}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок операций.

1. Первым действием выполним возведение в степень. Для этого преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь возведем полученную дробь в куб:

$\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27}$

2. Вторым действием выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 27:

$\frac{64}{27} - \frac{5}{9} = \frac{64}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{64}{27} - \frac{15}{27} = \frac{64-15}{27} = \frac{49}{27}$

3. Третьим действием выполним деление. Чтобы разделить на дробь, необходимо умножить на дробь, ей обратную:

$\frac{49}{27} : \frac{7}{9} = \frac{49}{27} \cdot \frac{9}{7}$

Сократим дроби перед умножением для упрощения вычислений:

$\frac{49}{27} \cdot \frac{9}{7} = \frac{49 \cdot 9}{27 \cdot 7} = \frac{7 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{9}}{3 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{7}} = \frac{7}{3}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Ответ: $2\frac{1}{3}$

б) $\left(\left(1\frac{1}{3}\right)^3 - \frac{5}{9}\right) : 1\frac{5}{9}$

Решим второе выражение. Заметим, что выражение в скобках такое же, как и в пункте а).

1. Результат вычисления в скобках нам уже известен из предыдущего пункта:

$\left(1\frac{1}{3}\right)^3 - \frac{5}{9} = \frac{49}{27}$

2. Преобразуем делитель, смешанное число $1\frac{5}{9}$, в неправильную дробь:

$1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$

3. Выполним деление. Умножим делимое на дробь, обратную делителю:

$\frac{49}{27} : \frac{14}{9} = \frac{49}{27} \cdot \frac{9}{14}$

Сократим дроби перед умножением:

$\frac{49 \cdot 9}{27 \cdot 14} = \frac{(7 \cdot \cancel{7}) \cdot \cancel{9}}{(3 \cdot \cancel{9}) \cdot (2 \cdot \cancel{7})} = \frac{7}{3 \cdot 2} = \frac{7}{6}$

4. Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$

Ответ: $1\frac{1}{6}$