Номер 9, страница 143 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. a) Ширина прямоугольника в $1\frac{4}{5}$ раза меньше длины. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 140 м.

б) Длина прямоугольника в $2\frac{2}{3}$ раза больше ширины. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 154 м.

а)

Пусть длина прямоугольника равна $l$ м, а ширина — $w$ м.

Согласно условию, ширина в $1\frac{4}{5}$ раза меньше длины. Это можно записать как $l = 1\frac{4}{5} \cdot w$.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

Таким образом, получаем соотношение между сторонами: $l = \frac{9}{5}w$.

Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2(l + w)$. По условию, периметр равен 140 м.

$2(l + w) = 140$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти полупериметр (сумму длины и ширины):

$l + w = 70$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $l = \frac{9}{5}w$
2. $l + w = 70$

Подставим выражение для $l$ из первого уравнения во второе:

$\frac{9}{5}w + w = 70$

Чтобы сложить дроби, приведем $w$ к знаменателю 5:

$\frac{9}{5}w + \frac{5}{5}w = 70$

$\frac{14}{5}w = 70$

Теперь выразим и найдем ширину $w$:

$w = 70 \div \frac{14}{5} = 70 \cdot \frac{5}{14}$

$w = \frac{70 \cdot 5}{14} = 5 \cdot 5 = 25$ м.

Зная ширину, найдем длину $l$:

$l = \frac{9}{5}w = \frac{9}{5} \cdot 25 = 9 \cdot 5 = 45$ м.

Проверка: $P = 2(45 + 25) = 2(70) = 140$ м. Условие выполнено.

Ответ: длина прямоугольника 45 м, ширина 25 м.

б)

Пусть ширина прямоугольника равна $w$ м, а длина — $l$ м.

По условию, длина в $2\frac{2}{3}$ раза больше ширины. Это записывается как $l = 2\frac{2}{3} \cdot w$.

Преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

Следовательно, $l = \frac{8}{3}w$.

Периметр прямоугольника равен 154 м. Используем формулу периметра $P = 2(l + w)$.

$2(l + w) = 154$

Найдем полупериметр, разделив обе части на 2:

$l + w = 77$

Составим систему уравнений:

1. $l = \frac{8}{3}w$
2. $l + w = 77$

Подставим $l$ из первого уравнения во второе:

$\frac{8}{3}w + w = 77$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{8}{3}w + \frac{3}{3}w = 77$

$\frac{11}{3}w = 77$

Найдем ширину $w$:

$w = 77 \div \frac{11}{3} = 77 \cdot \frac{3}{11}$

$w = \frac{77 \cdot 3}{11} = 7 \cdot 3 = 21$ м.

Теперь найдем длину $l$:

$l = \frac{8}{3}w = \frac{8}{3} \cdot 21 = 8 \cdot 7 = 56$ м.

Проверка: $P = 2(56 + 21) = 2(77) = 154$ м. Условие выполнено.

Ответ: длина прямоугольника 56 м, ширина 21 м.