Номер 4, страница 150 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

4. Мастерица задумала украсить подушку лоскутным узором (см. рисунок). Для этого ей понадобится ткань трёх видов: белая, голубая и бежевая.

$12 \text{ см}$

$12 \text{ см}$

а) Вычислите общую площадь белой части узора.

б) Вычислите, хватит ли для изготовления узора куска голубой ткани, если его длина равна $30 \text{ см}$, а ширина — $40 \text{ см}$.

а) Вычислите общую площадь белой части узора.

Весь лоскутный узор состоит из одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольников. Из схемы видно, что катеты каждого такого треугольника равны 12 см.

1. Вычислим площадь одного треугольника ($S_{тр}$). Так как треугольник прямоугольный, его площадь равна половине произведения его катетов:

$S_{тр} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 72 \text{ см}^2$.

2. Посчитаем количество треугольников белого цвета в узоре. Внимательно рассмотрев рисунок, можно насчитать 12 белых треугольников.

3. Чтобы найти общую площадь белой части узора ($S_{белая}$), умножим количество белых треугольников на площадь одного треугольника:

$S_{белая} = 12 \times S_{тр} = 12 \times 72 \text{ см}^2 = 864 \text{ см}^2$.

Ответ: 864 см².

б) Вычислите, хватит ли для изготовления узора куска голубой ткани, если его длина равна 30 см, а ширина — 40 см.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно не только сравнить площади, но и проверить, возможно ли выкроить все необходимые детали из имеющегося куска ткани.

1. Сначала найдем общую площадь голубой ткани, необходимой для узора. Для этого посчитаем количество голубых треугольников. Их в узоре 12 штук.

Площадь одного треугольника, как мы уже знаем из пункта а), составляет $S_{тр} = 72 \text{ см}^2$.

Общая площадь всех голубых деталей ($S_{голубая}$) будет равна:

$S_{голубая} = 12 \times S_{тр} = 12 \times 72 = 864 \text{ см}^2$.

2. Теперь вычислим площадь имеющегося куска ткани ($S_{кусок}$):

$S_{кусок} = 30 \text{ см} \times 40 \text{ см} = 1200 \text{ см}^2$.

Сравнивая площади, видим, что $S_{кусок} > S_{голубая}$ ($1200 \text{ см}^2 > 864 \text{ см}^2$), то есть по площади ткани достаточно.

3. Проверим возможность раскроя. Два треугольных лоскута можно получить из одного квадрата со стороной 12 см. Таким образом, для изготовления 12 треугольников нам потребуется выкроить 6 квадратов размером 12x12 см.

Проверим, можно ли разместить 6 таких квадратов на куске ткани размером 30х40 см.

По стороне длиной 40 см можно уложить в ряд $\lfloor \frac{40}{12} \rfloor = 3$ квадрата.

По стороне длиной 30 см можно уложить в ряд $\lfloor \frac{30}{12} \rfloor = 2$ квадрата.

Следовательно, на всём куске ткани можно разместить $3 \times 2 = 6$ квадратов размером 12x12 см. Этого количества ровно достаточно для изготовления голубой части узора.

Ответ: да, хватит.