Номер 21, страница 156 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

21. Какой длины нужно взять прямоугольный лист из винила, чтобы сделать рулон обоев из 10 слоёв (рис. 12), если диаметр каждого следующего слоя на 2 мм больше предыдущего, а диаметр первого слоя равен 10 см ($ \pi \approx 3,14 $)?

Рис. 12

Чтобы найти общую длину листа винила, необходимо сложить длины всех 10 слоев рулона. Длина каждого слоя представляет собой длину окружности, которая вычисляется по формуле $L = \pi d$, где $d$ — диаметр слоя.

Диаметры слоев образуют арифметическую прогрессию, так как каждый следующий диаметр больше предыдущего на одну и ту же величину.

Исходные данные:

• Количество слоев: $n = 10$.
• Диаметр первого слоя: $d_1 = 10$ см.
• Увеличение диаметра для каждого следующего слоя: 2 мм = 0,2 см. Это разность арифметической прогрессии $r = 0,2$ см.
• Значение $\pi \approx 3,14$.

Решение можно найти в два шага:

1. Найти сумму диаметров всех слоев.

Сначала вычислим диаметр последнего, десятого, слоя ($d_{10}$) по формуле n-го члена арифметической прогрессии $d_n = d_1 + (n-1)r$:

$d_{10} = 10 + (10 - 1) \times 0,2 = 10 + 9 \times 0,2 = 10 + 1,8 = 11,8$ см.

Теперь найдем сумму диаметров всех 10 слоев ($S_d$) по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(d_1 + d_n)}{2}$:

$S_d = \frac{10 \times (10 + 11,8)}{2} = \frac{10 \times 21,8}{2} = 5 \times 21,8 = 109$ см.

2. Вычислить общую длину листа.

Общая длина листа ($L_{общ}$) равна сумме длин окружностей всех слоев, что можно вычислить как произведение числа $\pi$ на сумму диаметров всех слоев:

$L_{общ} = \pi \times S_d$

$L_{общ} = 3,14 \times 109 = 342,26$ см.

Ответ: 342,26 см.