Номер 9.11, страница 39 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.11. Приведите многочлен к стандартному виду:

a) $7x^4 - 2x^2 + 3x + 5 - (3x^4 + x^3 + 2x^2 - 5)$;

б) $3x^3y + 6xy^2 - 5xy + 2y^2 - 7x - 1 - (5x^2y - 5xy + x^2 + 7x - 2)$.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо выполнить два основных шага:
1. Раскрыть все скобки.
2. Привести подобные слагаемые (одночлены).
Стандартный вид многочлена предполагает, что все его члены записаны в стандартном виде (коэффициент стоит на первом месте, затем переменные в алфавитном порядке), среди них нет подобных, и они расположены в порядке убывания степеней.

а) $7x^4 - 2x^2 + 3x + 5 - (3x^4 + x^3 + 2x^2 - 5)$

Сначала раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$7x^4 - 2x^2 + 3x + 5 - 3x^4 - x^3 - 2x^2 + 5$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(7x^4 - 3x^4) - x^3 + (-2x^2 - 2x^2) + 3x + (5 + 5)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$7x^4 - 3x^4 = 4x^4$
$-2x^2 - 2x^2 = -4x^2$
$5 + 5 = 10$

Запишем получившийся многочлен, расположив его члены в порядке убывания степеней переменной $x$:

$4x^4 - x^3 - 4x^2 + 3x + 10$

Ответ: $4x^4 - x^3 - 4x^2 + 3x + 10$

б) $3x^3y + 6xy^2 - 5xy + 2y^2 - 7x - 1 - (5x^2y - 5xy + x^2 + 7x - 2)$

Аналогично первому пункту, раскроем скобки, изменив знаки слагаемых в них на противоположные:

$3x^3y + 6xy^2 - 5xy + 2y^2 - 7x - 1 - 5x^2y + 5xy - x^2 - 7x + 2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются одночлены с одинаковой буквенной частью.

$3x^3y - 5x^2y + 6xy^2 - x^2 + 2y^2 + (-5xy + 5xy) + (-7x - 7x) + (-1 + 2)$

Выполним действия в группах подобных слагаемых:

$-5xy + 5xy = 0$
$-7x - 7x = -14x$
$-1 + 2 = 1$

Соберем все члены вместе. Члены $3x^3y$, $-5x^2y$, $6xy^2$, $-x^2$, $2y^2$ не имеют подобных. Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию их суммарной степени, а при равенстве степеней — в лексикографическом порядке (по убыванию степени $x$):

$3x^3y - 5x^2y + 6xy^2 - x^2 + 2y^2 - 14x + 1$

Ответ: $3x^3y - 5x^2y + 6xy^2 - x^2 + 2y^2 - 14x + 1$