Номер 9.17, страница 39 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.17* Какой многочлен нужно вычесть из многочлена $5x^3y - 3xy^2 + 7x^2 + 4xy - 2x + 8$, чтобы получилось выражение, тождественно равное многочлену $2x^3 - y^2 - 4xy + 2y + 3?

Пусть искомый многочлен равен $X$. Согласно условию задачи, если вычесть многочлен $X$ из многочлена $5x^3y - 3xy^2 + 7x^2 + 4xy - 2x + 8$, то получится многочлен $2x^3 - y^2 - 4xy + 2y + 3$. Это можно записать в виде уравнения:

$(5x^3y - 3xy^2 + 7x^2 + 4xy - 2x + 8) - X = 2x^3 - y^2 - 4xy + 2y + 3$

Чтобы найти неизвестный многочлен $X$, нужно из уменьшаемого вычесть разность. То есть, из первого многочлена нужно вычесть второй многочлен:

$X = (5x^3y - 3xy^2 + 7x^2 + 4xy - 2x + 8) - (2x^3 - y^2 - 4xy + 2y + 3)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых в ней меняются на противоположные:

$X = 5x^3y - 3xy^2 + 7x^2 + 4xy - 2x + 8 - 2x^3 + y^2 + 4xy - 2y - 3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Для этого сгруппируем члены с одинаковыми буквенными частями:

$X = 5x^3y - 3xy^2 + 7x^2 - 2x^3 + y^2 + (4xy + 4xy) - 2x - 2y + (8 - 3)$

Выполним сложение и вычитание в группах:

$X = 5x^3y - 3xy^2 + 7x^2 - 2x^3 + y^2 + 8xy - 2x - 2y + 5$

Это и есть искомый многочлен.

Ответ: $5x^3y - 3xy^2 + 7x^2 - 2x^3 + y^2 + 8xy - 2x - 2y + 5$