Номер 9.24, страница 40 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.24*. Докажите, что сумма пяти последовательных четных натуральных чисел кратна 10.

Для доказательства этого утверждения представим пять последовательных четных натуральных чисел в общем виде и найдем их сумму. Рассмотрим два способа.

Способ 1: Алгебраический

Любое четное натуральное число можно представить в виде $2n$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$). Возьмем пять последовательных четных чисел. Если первое число равно $2n$, то последующие будут на 2, 4, 6 и 8 больше него.

Таким образом, наши пять чисел: $2n$, $2n + 2$, $2n + 4$, $2n + 6$, $2n + 8$.

Найдем их сумму, которую обозначим как $S$:

$S = 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8)$

Сгруппируем слагаемые для упрощения:

$S = (2n + 2n + 2n + 2n + 2n) + (2 + 4 + 6 + 8)$

$S = 5 \cdot (2n) + 20$

$S = 10n + 20$

Вынесем общий множитель 10 за скобки:

$S = 10(n + 2)$

Так как $n$ — натуральное число, то $(n + 2)$ также является натуральным числом. Сумма $S$ представляет собой произведение числа 10 на натуральное число, следовательно, она всегда кратна 10.

Способ 2: Через среднее число

Рассмотрим пять последовательных четных чисел как арифметическую прогрессию. Обозначим среднее (третье) число как $a$. Тогда всю последовательность можно записать симметрично относительно этого числа:

$a - 4$, $a - 2$, $a$, $a + 2$, $a + 4$

По условию, все числа натуральные, значит, самое маленькое из них, $a - 4$, должно быть натуральным четным числом, то есть $a - 4 \ge 2$, откуда $a \ge 6$. Также $a$ само по себе является четным числом.

Найдем сумму $S$ этих чисел:

$S = (a - 4) + (a - 2) + a + (a + 2) + (a + 4)$

При сложении числа $-4$ и $4$, а также $-2$ и $2$ взаимно уничтожаются:

$S = a + a + a + a + a = 5a$

Поскольку $a$ — это четное число, его можно представить в виде $a = 2k$, где $k$ — натуральное число (из условия $a \ge 6$ следует, что $k \ge 3$). Подставим это в выражение для суммы:

$S = 5 \cdot (2k) = 10k$

Полученное выражение $10k$ очевидно кратно 10, так как $k$ является натуральным числом.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма пяти последовательных четных натуральных чисел всегда может быть представлена в виде, кратном 10 (например, $10(n+2)$ или $10k$), что доказывает ее делимость на 10.