Номер 9.26, страница 40 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.26*. Пусть $a$ и $b$ — некоторые числа. Известно, что при $x=1$ и $y=-2$ многочлен $2x^3+ax^2y+bxy^2-4x^2+3bxy+ax+3$ принимает значение 5. При $x=-1$ и $y=-3$ этот многочлен также принимает значение 5. Чему равны числа $a$ и $b$?

Пусть данный многочлен $P(x, y) = 2x^3 + ax^2y + bxy^2 - 4x^2 + 3bxy + ax + 3$.

Согласно условию задачи, у нас есть два независимых факта, которые мы можем использовать для составления системы уравнений и нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $b$.

Сначала используем первое условие: при $x = 1$ и $y = -2$ значение многочлена равно 5. Подставим эти значения в выражение:

$P(1, -2) = 2(1)^3 + a(1)^2(-2) + b(1)(-2)^2 - 4(1)^2 + 3b(1)(-2) + a(1) + 3 = 5$

Упростим полученное уравнение, выполнив арифметические операции:

$2 \cdot 1 + a \cdot 1 \cdot (-2) + b \cdot 1 \cdot 4 - 4 \cdot 1 + 3b(-2) + a + 3 = 5$

$2 - 2a + 4b - 4 - 6b + a + 3 = 5$

Приведем подобные члены:

$(a - 2a) + (4b - 6b) + (2 - 4 + 3) = 5$

$-a - 2b + 1 = 5$

$-a - 2b = 4$

Для удобства умножим обе части на -1, получив первое линейное уравнение: $a + 2b = -4$.

Теперь используем второе условие: при $x = -1$ и $y = -3$ значение многочлена также равно 5. Подставим и эти значения:

$P(-1, -3) = 2(-1)^3 + a(-1)^2(-3) + b(-1)(-3)^2 - 4(-1)^2 + 3b(-1)(-3) + a(-1) + 3 = 5$

Упростим второе уравнение:

$2(-1) + a(1)(-3) + b(-1)(9) - 4(1) + 3b(3) - a + 3 = 5$

$-2 - 3a - 9b - 4 + 9b - a + 3 = 5$

Снова приведем подобные члены. Обратим внимание, что члены с $b$ взаимно уничтожаются:

$(-3a - a) + (-9b + 9b) + (-2 - 4 + 3) = 5$

$-4a - 3 = 5$

Из этого уравнения мы можем сразу найти значение $a$:

$-4a = 5 + 3$

$-4a = 8$

$a = \frac{8}{-4}$

$a = -2$

Теперь, зная значение $a$, подставим его в первое уравнение ($a + 2b = -4$), чтобы найти $b$:

$-2 + 2b = -4$

$2b = -4 + 2$

$2b = -2$

$b = \frac{-2}{2}$

$b = -1$

Таким образом, мы определили, что $a = -2$ и $b = -1$.

Ответ: $a = -2$, $b = -1$.