Номер 10.4, страница 41 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.4. Представьте в виде многочлена произведение:

а) $5(x^2 - 3x + 1);$

б) $2a(a^2 - 7a + 3);$

в) $-2(x^2 + 5xy + y^2);$

г) $3c^2(1 + c^2 - 2c^4);$

д) $-6b^4(5 - b - b^3);$

е) $(y^3 - 3y^2 + 1) \cdot (-2y^5).$

а) Чтобы представить произведение в виде многочлена, воспользуемся распределительным свойством умножения (раскроем скобки), умножив одночлен $5$ на каждый член многочлена $x^2 - 3x + 1$:
$5(x^2 - 3x + 1) = 5 \cdot x^2 + 5 \cdot (-3x) + 5 \cdot 1 = 5x^2 - 15x + 5$.
Ответ: $5x^2 - 15x + 5$

б) Умножим одночлен $2a$ на каждый член многочлена $a^2 - 7a + 3$:
$2a(a^2 - 7a + 3) = 2a \cdot a^2 + 2a \cdot (-7a) + 2a \cdot 3$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$.
$2a^3 - 14a^2 + 6a$.
Ответ: $2a^3 - 14a^2 + 6a$

в) Умножим $-2$ на каждый член многочлена $x^2 + 5xy + y^2$:
$-2(x^2 + 5xy + y^2) = (-2) \cdot x^2 + (-2) \cdot (5xy) + (-2) \cdot y^2 = -2x^2 - 10xy - 2y^2$.
Ответ: $-2x^2 - 10xy - 2y^2$

г) Умножим одночлен $3c^2$ на каждый член многочлена $1 + c^2 - 2c^4$:
$3c^2(1 + c^2 - 2c^4) = 3c^2 \cdot 1 + 3c^2 \cdot c^2 + 3c^2 \cdot (-2c^4)$.
Применяя правило умножения степеней ($c^2 \cdot c^2 = c^{2+2} = c^4$, $c^2 \cdot c^4 = c^{2+4} = c^6$), получаем:
$3c^2 + 3c^4 - 6c^6$.
Запишем многочлен в стандартном виде, расположив его члены по убыванию степеней переменной: $-6c^6 + 3c^4 + 3c^2$.
Ответ: $-6c^6 + 3c^4 + 3c^2$

д) Умножим одночлен $-6b^4$ на каждый член многочлена $5 - b - b^3$:
$-6b^4(5 - b - b^3) = (-6b^4) \cdot 5 + (-6b^4) \cdot (-b) + (-6b^4) \cdot (-b^3)$.
Применяя правило умножения степеней ($b^4 \cdot b = b^{4+1} = b^5$, $b^4 \cdot b^3 = b^{4+3} = b^7$), получаем:
$-30b^4 + 6b^5 + 6b^7$.
Запишем многочлен в стандартном виде, расположив его члены по убыванию степеней переменной: $6b^7 + 6b^5 - 30b^4$.
Ответ: $6b^7 + 6b^5 - 30b^4$

е) Умножим каждый член многочлена $y^3 - 3y^2 + 1$ на одночлен $-2y^5$:
$(y^3 - 3y^2 + 1) \cdot (-2y^5) = y^3 \cdot (-2y^5) + (-3y^2) \cdot (-2y^5) + 1 \cdot (-2y^5)$.
Применяя правило умножения степеней ($y^3 \cdot y^5 = y^{3+5} = y^8$, $y^2 \cdot y^5 = y^{2+5} = y^7$), получаем:
$-2y^8 + 6y^7 - 2y^5$.
Многочлен уже записан в стандартном виде.
Ответ: $-2y^8 + 6y^7 - 2y^5$