Номер 9.13, страница 39 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.13. Найдите степень многочлена:

a) $-8x^4 + 2x^3 - 5x + 6x^4 - x^3 + 2 + (2x^4 - x^3 + 5x + 2);$

б) $4xy^2 + 3xy - x^2 - 2xy^2 + 5x + 2 - (2xy^2 - 3xy - x^2 + 2y - 2).$

а) Чтобы найти степень многочлена, необходимо его упростить, приведя к стандартному виду. Для этого сначала раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $-8x^4 + 2x^3 - 5x + 6x^4 - x^3 + 2 + (2x^4 - x^3 + 5x + 2)$.

Так как перед скобками стоит знак «+», мы можем просто убрать их, сохранив знаки всех слагаемых внутри:

$-8x^4 + 2x^3 - 5x + 6x^4 - x^3 + 2 + 2x^4 - x^3 + 5x + 2$

Теперь сгруппируем и сложим подобные слагаемые (одночлены с одинаковой буквенной частью):

$(-8x^4 + 6x^4 + 2x^4) + (2x^3 - x^3 - x^3) + (-5x + 5x) + (2 + 2)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(-8 + 6 + 2)x^4 = 0 \cdot x^4 = 0$

$(2 - 1 - 1)x^3 = 0 \cdot x^3 = 0$

$(-5 + 5)x = 0 \cdot x = 0$

$2 + 2 = 4$

В результате упрощения получаем многочлен: $0 + 0 + 0 + 4 = 4$.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Полученный многочлен является числом 4 (константой). Степень любого ненулевого числа по определению равна 0.

Ответ: 0

б) Упростим данный многочлен. Сначала раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак «–», знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Исходное выражение: $4xy^2 + 3xy - x^2 - 2xy^2 + 5x + 2 - (2xy^2 - 3xy - x^2 + 2y - 2)$.

Раскрываем скобки:

$4xy^2 + 3xy - x^2 - 2xy^2 + 5x + 2 - 2xy^2 + 3xy + x^2 - 2y + 2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4xy^2 - 2xy^2 - 2xy^2) + (3xy + 3xy) + (-x^2 + x^2) + 5x - 2y + (2 + 2)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(4 - 2 - 2)xy^2 = 0 \cdot xy^2 = 0$

$(3 + 3)xy = 6xy$

$(-1 + 1)x^2 = 0 \cdot x^2 = 0$

В результате упрощения получаем многочлен стандартного вида: $6xy + 5x - 2y + 4$.

Степень многочлена – это наибольшая из степеней его одночленов. Степень одночлена с несколькими переменными – это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Найдем степени одночленов, входящих в полученный многочлен:

Степень одночлена $6xy$ (то есть $6x^1y^1$) равна $1 + 1 = 2$.

Степень одночлена $5x$ (то есть $5x^1$) равна 1.

Степень одночлена $-2y$ (то есть $-2y^1$) равна 1.

Степень одночлена $4$ (константы) равна 0.

Наибольшая из этих степеней – 2. Следовательно, степень всего многочлена равна 2.

Ответ: 2