вопросы, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Верно ли, что при записи числа в стандартном виде:

а) если это число целое, то нужно перенести запятую влево;

б) если это число дробное, то нужно перенести запятую вправо?

2. Верно ли утверждение:

а) чем больше порядок числа, тем больше само число;

б) если порядок числа отрицательный, то и само число отрицательное;

в) если найти произведение двух чисел, записанных в стандартном виде, то ответ будет числом, записанным в стандартном виде;

г) в стандартном виде можно записать любое число?

1. Верно ли, что при записи числа в стандартном виде:

а) если это число целое, то нужно перенести запятую влево;
Утверждение неверно. Стандартный вид числа — это запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le |a| < 10$ и $n$ — целое число. Если целое число по модулю больше или равно 10 (например, 5200), то для приведения к стандартному виду действительно нужно перенести запятую влево: $5200 = 5,2 \cdot 10^3$. Однако если целое число по модулю меньше 10 (например, 8), оно уже удовлетворяет условию для мантиссы ($1 \le 8 < 10$), и его стандартный вид: $8 = 8 \cdot 10^0$. В этом случае переносить запятую не нужно. Поскольку утверждение выполняется не для всех целых чисел, оно является ложным.
Ответ: Нет.

б) если это число дробное, то нужно перенести запятую вправо?
Утверждение неверно. Направление переноса запятой зависит от абсолютной величины числа.

• Если модуль дробного числа меньше 1 (например, 0,047), то запятую действительно нужно переносить вправо: $0,047 = 4,7 \cdot 10^{-2}$.
• Если модуль дробного числа больше или равен 10 (например, 53,12), то запятую нужно переносить влево: $53,12 = 5,312 \cdot 10^1$.

Таким образом, утверждение справедливо только для чисел, модуль которых меньше 1, и ложно в общем случае.
Ответ: Нет.

2. Верно ли утверждение:

а) чем больше порядок числа, тем больше само число;
Утверждение неверно в общем случае, так как оно не учитывает знак числа.

• Для положительных чисел утверждение верно. Сравним $3 \cdot 10^4$ и $9 \cdot 10^3$. Порядок первого числа (4) больше порядка второго (3), и само число больше ($30000 > 9000$).
• Для отрицательных чисел утверждение неверно. Сравним $-3 \cdot 10^4$ и $-9 \cdot 10^3$. Порядок первого числа (4) больше порядка второго (3), но само число меньше ($-30000 < -9000$).

Поскольку утверждение не выполняется для отрицательных чисел, оно является ложным.
Ответ: Нет.

б) если порядок числа отрицательный, то и само число отрицательное;
Утверждение неверно. Отрицательный порядок ($n < 0$) означает, что абсолютная величина числа меньше 1. Знак же самого числа определяется знаком мантиссы $a$. Например, число $5 \cdot 10^{-3} = 0,005$. Порядок (-3) отрицательный, но число положительное. Число будет отрицательным только если мантисса отрицательна, например: $-5 \cdot 10^{-3} = -0,005$. Следовательно, отрицательный порядок не означает, что число отрицательное.
Ответ: Нет.

в) если найти произведение двух чисел, записанных в стандартном виде, то ответ будет числом, записанным в стандартном виде;
Утверждение неверно. При перемножении двух чисел в стандартном виде $a_1 \cdot 10^{n_1}$ и $a_2 \cdot 10^{n_2}$, получается $(a_1 \cdot a_2) \cdot 10^{n_1 + n_2}$. Новая мантисса $(a_1 \cdot a_2)$ не всегда удовлетворяет условию $1 \le |a_1 \cdot a_2| < 10$. Например, умножим $4 \cdot 10^5$ на $3 \cdot 10^2$: $(4 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^2) = (4 \cdot 3) \cdot 10^{5+2} = 12 \cdot 10^7$. Результат $12 \cdot 10^7$ не является стандартным видом, так как мантисса $12 \ge 10$. Для приведения к стандартному виду требуется дополнительное преобразование: $12 \cdot 10^7 = (1,2 \cdot 10^1) \cdot 10^7 = 1,2 \cdot 10^8$.
Ответ: Нет.

г) в стандартном виде можно записать любое число?
Утверждение неверно. В стандартном виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le |a| < 10$, можно записать любое действительное число, кроме нуля. Для числа 0 невозможно подобрать такую мантиссу $a$, которая бы удовлетворяла условию $1 \le |a| < 10$. Поэтому число 0 не имеет стандартной записи.
Ответ: Нет.