Номер 1.184, страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.184. Выполните действия и запишите результат

в стандартном виде:

a) $(4,2 \cdot 10^{-3}) \cdot (3 \cdot 10^{-1});$

б) $(7,2 \cdot 10^{7}) : (9 \cdot 10^{10}).$

а) Выполните действие $(4,2 \cdot 10^{-3}) \cdot (3 \cdot 10^{-1})$ и запишите результат в стандартном виде.

Чтобы перемножить два числа, записанных в стандартном виде, необходимо сгруппировать и перемножить их мантиссы (числовые множители) и порядки (степени десяти) по отдельности.

$(4,2 \cdot 10^{-3}) \cdot (3 \cdot 10^{-1}) = (4,2 \cdot 3) \cdot (10^{-3} \cdot 10^{-1})$

1. Вычислим произведение мантисс:
$4,2 \cdot 3 = 12,6$

2. Вычислим произведение степеней десяти, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^{-3} \cdot 10^{-1} = 10^{-3 + (-1)} = 10^{-4}$

3. Объединим результаты:
$12,6 \cdot 10^{-4}$

4. Полученное число нужно привести к стандартному виду $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. В нашем случае $a = 12,6$, что не удовлетворяет условию.
Представим мантиссу $12,6$ в стандартном виде:
$12,6 = 1,26 \cdot 10^1$

5. Подставим это значение обратно в выражение и снова применим свойство степеней:
$(1,26 \cdot 10^1) \cdot 10^{-4} = 1,26 \cdot 10^{1 + (-4)} = 1,26 \cdot 10^{-3}$

Теперь результат записан в стандартном виде, так как $1 \le 1,26 < 10$.
Ответ: $1,26 \cdot 10^{-3}$

б) Выполните действие $(7,2 \cdot 10^{7}) : (9 \cdot 10^{10})$ и запишите результат в стандартном виде.

Чтобы разделить два числа, записанных в стандартном виде, необходимо сгруппировать и разделить их мантиссы и порядки по отдельности.

$(7,2 \cdot 10^{7}) : (9 \cdot 10^{10}) = \frac{7,2 \cdot 10^{7}}{9 \cdot 10^{10}} = \frac{7,2}{9} \cdot \frac{10^{7}}{10^{10}}$

1. Вычислим частное мантисс:
$7,2 : 9 = 0,8$

2. Вычислим частное степеней десяти, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^{7}}{10^{10}} = 10^{7 - 10} = 10^{-3}$

3. Объединим результаты:
$0,8 \cdot 10^{-3}$

4. Полученное число нужно привести к стандартному виду $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. В нашем случае $a = 0,8$, что не удовлетворяет условию.
Представим мантиссу $0,8$ в стандартном виде:
$0,8 = 8 \cdot 10^{-1}$

5. Подставим это значение обратно в выражение и применим свойство умножения степеней:
$(8 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-3} = 8 \cdot 10^{-1 + (-3)} = 8 \cdot 10^{-4}$

Теперь результат записан в стандартном виде, так как $1 \le 8 < 10$.
Ответ: $8 \cdot 10^{-4}$