Номер 1.189, страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.189*. Порядок числа $a$ равен 9, а порядок числа $b$ равен 11. Каким может быть порядок произведения $ab$?

Понятие "порядок числа", упомянутое в задаче, является термином из теории групп. Порядок элемента группы — это наименьшее натуральное число $n$, такое что $n$-ая степень этого элемента равна нейтральному элементу группы (который часто называют единицей).

Пусть $a$ и $b$ — элементы некоторой группы $G$ с нейтральным элементом $e$. Из условия задачи мы знаем:

• Порядок элемента $a$ равен 9, что записывается как $\text{ord}(a) = 9$. Это по определению означает, что $a^9 = e$, и для любого натурального числа $m < 9$, $a^m \neq e$.
• Порядок элемента $b$ равен 11, то есть $\text{ord}(b) = 11$. Это означает, что $b^{11} = e$, и для любого натурального числа $k < 11$, $b^k \neq e$.

Нам нужно найти возможные значения для порядка произведения $ab$, то есть $\text{ord}(ab)$.

Ключевым свойством, которое позволяет однозначно решить задачу, является коммутативность элементов, то есть выполнение равенства $ab = ba$. В задачах такого типа, если не оговорено обратное, это свойство обычно предполагается. Оно всегда выполняется в абелевых (коммутативных) группах.

Пусть $k = \text{ord}(ab)$. По определению, $k$ — это наименьшее натуральное число, для которого $(ab)^k = e$.

Шаг 1: Определение верхней границы для порядка $k$.

Поскольку $a$ и $b$ коммутируют, мы можем записать $(ab)^n = a^n b^n$ для любого целого $n$. Рассмотрим степень, равную наименьшему общему кратному порядков $a$ и $b$: $\text{НОК}(9, 11) = 99$. Вычислим $(ab)^{99}$: $$(ab)^{99} = a^{99}b^{99}$$ Так как $\text{ord}(a) = 9$, то $a^{99} = a^{9 \cdot 11} = (a^9)^{11} = e^{11} = e$. Так как $\text{ord}(b) = 11$, то $b^{99} = b^{11 \cdot 9} = (b^{11})^9 = e^9 = e$. Следовательно: $$(ab)^{99} = e \cdot e = e$$ Поскольку $(ab)^{99} = e$, то из определения порядка следует, что порядок элемента $ab$ (наше число $k$) должен быть делителем числа 99.

Шаг 2: Определение нижней границы для порядка $k$.

Мы знаем, что $(ab)^k = e$. Используя коммутативность, получаем $a^k b^k = e$, откуда можно выразить $a^k = (b^k)^{-1} = b^{-k}$.

Рассмотрим элемент $c = a^k$. Этот элемент принадлежит циклической подгруппе $\langle a \rangle$, порожденной элементом $a$. Порядок этой подгруппы равен порядку самого элемента $a$, то есть $|\langle a \rangle| = \text{ord}(a) = 9$. В то же время, $c = b^{-k}$, поэтому этот же элемент $c$ принадлежит циклической подгруппе $\langle b \rangle$, порожденной элементом $b$. Порядок этой подгруппы $|\langle b \rangle| = \text{ord}(b) = 11$.

Таким образом, элемент $c$ находится в пересечении этих двух подгрупп: $c \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle$. По теореме Лагранжа, порядок любой подгруппы является делителем порядка группы. Значит, порядок подгруппы пересечения $|\langle a \rangle \cap \langle b \rangle|$ должен делить порядки обеих подгрупп $\langle a \rangle$ и $\langle b \rangle$. Следовательно, $|\langle a \rangle \cap \langle b \rangle|$ должен быть общим делителем чисел 9 и 11.

Наибольший общий делитель чисел 9 и 11 равен 1, так как они взаимно просты: $\text{НОД}(9, 11) = 1$. Единственная подгруппа, порядок которой равен 1, — это тривиальная подгруппа, состоящая только из нейтрального элемента $\{e\}$. Отсюда следует, что $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{e\}$, и, значит, сам элемент $c$ должен быть нейтральным элементом: $c = e$.

Из равенства $c=e$ мы получаем два важных условия для $k$:

1. $a^k = e$. Так как $\text{ord}(a) = 9$, это означает, что $k$ должно быть кратно 9.
2. $b^k = (b^{-k})^{-1} = e^{-1} = e$. Так как $\text{ord}(b) = 11$, это означает, что $k$ должно быть кратно 11.

Итак, $k$ является общим кратным чисел 9 и 11.

Шаг 3: Заключение.

Из шага 1 мы знаем, что $k$ — делитель 99. Из шага 2 мы знаем, что $k$ — общее кратное 9 и 11. Наименьшее общее кратное для 9 и 11 равно $\text{НОК}(9, 11) = 99$. Значит, $k$ должно быть кратно 99.

Единственное натуральное число, которое одновременно является делителем 99 и кратно 99, — это само число 99.

Следовательно, порядок произведения $ab$ равен 99.

Ответ: 99.