Номер 2.100, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.100. Можно ли представить одночлен $-15x^5y^7z^9$ в виде произведения трех одночленов стандартного вида с отрицательными коэффициентами?

Да, такой одночлен можно представить в виде произведения трех одночленов стандартного вида с отрицательными коэффициентами. Чтобы это доказать, необходимо показать, что можно подобрать как числовые коэффициенты, так и переменные части для трех таких одночленов, удовлетворяющих всем условиям.

Разобьем задачу на две части: анализ коэффициентов и анализ переменных.

1. Анализ коэффициентов.
Коэффициент исходного одночлена равен $-15$. Нам нужно найти три отрицательных коэффициента ($c_1, c_2, c_3$), произведение которых будет равно $-15$:
$c_1 \cdot c_2 \cdot c_3 = -15$
Произведение трех отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Поэтому мы можем найти такие числа. Например, выберем коэффициенты $-1$, $-3$ и $-5$. Их произведение равно:
$(-1) \cdot (-3) \cdot (-5) = 3 \cdot (-5) = -15$
Следовательно, условие для коэффициентов выполнимо.

2. Анализ переменных частей.
Переменная часть исходного одночлена — $x^5y^7z^9$. Ее нужно представить как произведение переменных частей трех одночленов. При умножении одночленов их показатели степеней для каждой переменной складываются. Это значит, что нам нужно разбить показатели 5, 7 и 9 на три целых неотрицательных слагаемых для каждой переменной соответственно:

• $a_1 + a_2 + a_3 = 5$
• $b_1 + b_2 + b_3 = 7$
• $d_1 + d_2 + d_3 = 9$

Это всегда возможно, так как существует множество вариантов разбиения натурального числа на целые неотрицательные слагаемые.

Пример конкретного разложения.
Возьмем найденные нами коэффициенты ($-1, -3, -5$) и один из возможных вариантов разбиения показателей степеней:

• Для $x$: $5 = 1 + 2 + 2$
• Для $y$: $7 = 2 + 3 + 2$
• Для $z$: $9 = 4 + 1 + 4$

Теперь составим три одночлена:

• $M_1 = -1 \cdot x^1 y^2 z^4 = -xy^2z^4$
• $M_2 = -3 \cdot x^2 y^3 z^1 = -3x^2y^3z$
• $M_3 = -5 \cdot x^2 y^2 z^4 = -5x^2y^2z^4$

Все эти одночлены имеют стандартный вид и отрицательные коэффициенты. Проверим их произведение:
$(-xy^2z^4) \cdot (-3x^2y^3z) \cdot (-5x^2y^2z^4) = (-1 \cdot -3 \cdot -5) \cdot x^{1+2+2} y^{2+3+2} z^{4+1+4} = -15x^5y^7z^9$.

Так как мы смогли привести конкретный пример, который удовлетворяет всем условиям задачи, мы доказали, что такое представление возможно.

Ответ: Да, можно.