Номер 2.338, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.338. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) $ (-4x + 3)(-4x - 3) - 8(2x^2 + 3); $

б) $ (6x - 1)(-6x - 1) - (2 - 9x)(1 + 4x) - x + 2. $

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо упростить его. Если в результате упрощения переменная $x$ сократится и останется только числовое значение (константа), то утверждение будет доказано.

а) $(-4x + 3)(-4x - 3) - 8(2x^2 + 3)$

1. Упростим первую часть выражения $(-4x + 3)(-4x - 3)$. Это можно сделать, применив формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = -4x$ и $b = 3$.
$(-4x + 3)(-4x - 3) = (-4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9$.

2. Раскроем скобки во второй части выражения, умножив $-8$ на каждый член внутри скобок:
$-8(2x^2 + 3) = -8 \cdot 2x^2 - 8 \cdot 3 = -16x^2 - 24$.

3. Теперь объединим полученные результаты и приведем подобные слагаемые:
$(16x^2 - 9) + (-16x^2 - 24) = 16x^2 - 9 - 16x^2 - 24$.
Сгруппируем члены: $(16x^2 - 16x^2) + (-9 - 24) = 0 - 33 = -33$.

В результате упрощения мы получили число $-33$, которое не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: -33

б) $(6x - 1)(-6x - 1) - (2 - 9x)(1 + 4x) - x + 2$

1. Упростим первое произведение $(6x - 1)(-6x - 1)$. Вынесем $-1$ из второй скобки:
$(6x - 1)(-1)(6x + 1) = -(6x - 1)(6x + 1)$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=6x$ и $b=1$:
$-((6x)^2 - 1^2) = -(36x^2 - 1) = -36x^2 + 1$.

2. Раскроем скобки во втором произведении $(2 - 9x)(1 + 4x)$ путем перемножения каждого члена первой скобки на каждый член второй:
$2 \cdot 1 + 2 \cdot 4x - 9x \cdot 1 - 9x \cdot 4x = 2 + 8x - 9x - 36x^2 = 2 - x - 36x^2$.

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(-36x^2 + 1) - (2 - x - 36x^2) - x + 2$.

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-36x^2 + 1 - 2 + x + 36x^2 - x + 2 = (-36x^2 + 36x^2) + (x - x) + (1 - 2 + 2) = 0 + 0 + 1 = 1$.

В результате упрощения мы получили число $1$, которое не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: 1