Номер 2.347, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.347*. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение

$(-b^2 - 2b)^2 - b^2(b-1)(b+1) + 4b(1-b)(b+2) - (8b+1).$

Требуется представить в виде многочлена стандартного вида выражение:

$(-b^2 - 2b)^2 - b^2(b - 1)(b + 1) + 4b(1 - b)(b + 2) - (8b + 1)$

Для решения задачи мы последовательно упростим каждую часть выражения.

1. Упрощение $(-b^2 - 2b)^2$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В данном случае, можно вынести общий множитель $-1$ и возвести в квадрат: $((-1)(b^2+2b))^2 = (-1)^2(b^2+2b)^2 = (b^2+2b)^2$.

$(b^2+2b)^2 = (b^2)^2 + 2 \cdot b^2 \cdot 2b + (2b)^2 = b^4 + 4b^3 + 4b^2$

2. Упрощение $-b^2(b - 1)(b + 1)$

Здесь применяется формула разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к произведению $(b-1)(b+1)$.

$(b - 1)(b + 1) = b^2 - 1^2 = b^2 - 1$

Далее умножаем на $-b^2$:

$-b^2(b^2 - 1) = -b^4 + b^2$

3. Упрощение $+4b(1 - b)(b + 2)$

Сначала перемножим многочлены в скобках:

$(1 - b)(b + 2) = 1 \cdot b + 1 \cdot 2 - b \cdot b - b \cdot 2 = b + 2 - b^2 - 2b = -b^2 - b + 2$

Теперь умножим результат на $4b$:

$4b(-b^2 - b + 2) = -4b^3 - 4b^2 + 8b$

4. Упрощение $-(8b + 1)$

Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные:

$-(8b + 1) = -8b - 1$

5. Сложение результатов и приведение подобных слагаемых

Теперь сложим все полученные выражения:

$(b^4 + 4b^3 + 4b^2) + (-b^4 + b^2) + (-4b^3 - 4b^2 + 8b) + (-8b - 1)$

Снимем скобки и сгруппируем подобные члены:

$b^4 + 4b^3 + 4b^2 - b^4 + b^2 - 4b^3 - 4b^2 + 8b - 8b - 1 = $

$(b^4 - b^4) + (4b^3 - 4b^3) + (4b^2 + b^2 - 4b^2) + (8b - 8b) - 1 = $

$0 + 0 + b^2 + 0 - 1 = b^2 - 1$

Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение $(-b^2 - 2b)^2 - b^2(b - 1)(b + 1) + 4b(1 - b)(b + 2) - (8b + 1)$.
Ответ: $b^2 - 1$.