Номер 3.84, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.84. Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми равно 10 км, со скоростью $6 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ вышел пешеход, а через полчаса из пункта $A$ в пункт $B$ по той же дороге со скоростью $18 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ выехал велосипедист. Сколько километров осталось идти пешеходу до пункта $B$ после того, как его догнал велосипедист?

Для решения задачи разобьем ее на несколько последовательных шагов.

1. Какое расстояние прошел пешеход за полчаса до выезда велосипедиста?
Пешеход двигался со скоростью $6$ км/ч в течение $0.5$ часа (полчаса). Чтобы найти пройденное им расстояние, нужно умножить его скорость на время:
$S_1 = 6 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \times 0.5 \, \text{ч} = 3$ км.
Это расстояние является начальным преимуществом пешехода в момент старта велосипедиста.
Ответ: 3 км.

2. Какова скорость сближения велосипедиста и пешехода?
Велосипедист догоняет пешехода, так как его скорость выше. Скорость, с которой расстояние между ними сокращается (скорость сближения), равна разности их скоростей:
$v_{сближения} = v_{велосипедиста} - v_{пешехода} = 18 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} - 6 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 12$ км/ч.
Ответ: 12 км/ч.

3. Через какое время после своего выезда велосипедист догнал пешехода?
Чтобы найти время, за которое велосипедист покроет начальное расстояние в 3 км, нужно разделить это расстояние на скорость сближения:
$t_{встречи} = \frac{3 \, \text{км}}{12 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = \frac{1}{4}$ часа.
Ответ: $\frac{1}{4}$ часа.

4. На каком расстоянии от пункта А произошла встреча?
Это расстояние равно пути, который проехал велосипедист за время $t_{встречи}$ со своей скоростью (так как он тоже стартовал из пункта А):
$S_{встречи} = v_{велосипедиста} \times t_{встречи} = 18 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \times \frac{1}{4} \, \text{ч} = \frac{18}{4}$ км.
Сократим дробь: $\frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ км. Теперь выделим целую часть из неправильной дроби:
$\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$ км.
Ответ: $4\frac{1}{2}$ км.

5. Сколько километров осталось идти пешеходу до пункта В после того, как его догнал велосипедист?
Это главный вопрос задачи. Общее расстояние между пунктами А и В составляет $10$ км. К моменту встречи пешеход прошел $4\frac{1}{2}$ км. Чтобы найти оставшийся путь, нужно вычесть пройденное расстояние из общего:
$S_{осталось} = 10 \, \text{км} - 4\frac{1}{2} \, \text{км} = \frac{20}{2} \, \text{км} - \frac{9}{2} \, \text{км} = \frac{11}{2}$ км.
Выделим целую часть из полученной неправильной дроби:
$\frac{11}{2} = 5\frac{1}{2}$ км.
Ответ: $5\frac{1}{2}$