Номер 3.87, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.87. Расстояние между двумя базами при попутном ветре вертолет преодолевает за 45 мин, а при встречном — за 1 ч. Найдите это расстояние, если скорость ветра 10 $\frac{\text{КМ}}{\text{ч}}$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – искомое расстояние между базами (в км).
• $v_{в}$ – собственная скорость вертолета (в км/ч).
• $v_{ветра}$ – скорость ветра, по условию $v_{ветра} = 10 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.
• $t_1$ – время полета с попутным ветром, по условию $t_1 = 45$ мин.
• $t_2$ – время полета со встречным ветром, по условию $t_2 = 1$ ч.

Шаг 1: Приведение единиц измерения к единой системе.

Скорость дана в км/ч, поэтому время необходимо выразить в часах.

$t_1 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$

$t_2 = 1 \text{ ч}$

Шаг 2: Составление уравнений.

Используем основную формулу движения: Расстояние = Скорость × Время ($S = v \cdot t$).

1. При полете с попутным ветром (по ветру) скорость вертолета складывается со скоростью ветра. Эффективная скорость равна $v_{в} + v_{ветра}$.
Составим уравнение для этого случая:
$S = (v_{в} + 10) \cdot t_1$
$S = (v_{в} + 10) \cdot \frac{3}{4}$

2. При полете со встречным ветром (против ветра) из собственной скорости вертолета вычитается скорость ветра. Эффективная скорость равна $v_{в} - v_{ветра}$.
Составим уравнение для этого случая:
$S = (v_{в} - 10) \cdot t_2$
$S = (v_{в} - 10) \cdot 1$
$S = v_{в} - 10$

Шаг 3: Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($S$ и $v_{в}$):
$\begin{cases}S = (v_{в} + 10) \cdot \frac{3}{4} \\S = v_{в} - 10\end{cases}$

Из второго уравнения выразим собственную скорость вертолета $v_{в}$:
$v_{в} = S + 10$

Теперь подставим это выражение для $v_{в}$ в первое уравнение:

$S = ((S + 10) + 10) \cdot \frac{3}{4}$

$S = (S + 20) \cdot \frac{3}{4}$

Решим полученное уравнение относительно $S$:

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
$4S = (S + 20) \cdot 3$

Раскроем скобки в правой части:
$4S = 3S + 60$

Перенесем слагаемые с $S$ в левую часть:
$4S - 3S = 60$

$S = 60$

Таким образом, расстояние между двумя базами составляет 60 км.

Ответ: 60 км.