Номер 2.447, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.447. Новоселы решили облицевать плиткой пол кухни, имеющей форму квадрата со стороной $a$ м. Мастер по укладке плитки предложил выделить на полу меньший квадрат со стороной $b$ м и облицевать его обычной плиткой, а оставшуюся часть украсить мозаикой (рис. 8). Мозаику для укладки мастер подготовил на прямоугольном участке длиной $(a+b)$ м и шириной $(a-b)$ м. Хватит ли мастеру мозаики для облицовки пола кухни?

Рис. 8

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сравнить площадь, которую нужно покрыть мозаикой, с площадью имеющегося у мастера материала.

1. Вычисление необходимой площади для мозаики.
Общая площадь пола кухни, имеющей форму квадрата со стороной $a$, равна:
$S_{кухни} = a \cdot a = a^2$

Площадь меньшего квадрата со стороной $b$, который будет покрыт обычной плиткой, равна:
$S_{плитки} = b \cdot b = b^2$

Следовательно, площадь, которую нужно украсить мозаикой, — это разность общей площади и площади под плитку:
$S_{нужно} = S_{кухни} - S_{плитки} = a^2 - b^2$

2. Вычисление площади имеющейся мозаики.
У мастера есть прямоугольный участок мозаики с длиной $(a + b)$ и шириной $(a - b)$.
Площадь этого участка вычисляется как произведение его сторон:
$S_{есть} = (a + b)(a - b)$

3. Сравнение площадей.
Для упрощения выражения площади имеющейся мозаики используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
Применив ее, получаем:
$S_{есть} = (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Теперь сравним необходимую площадь с имеющейся:
$S_{нужно} = a^2 - b^2$
$S_{есть} = a^2 - b^2$

Так как $S_{нужно} = S_{есть}$, площадь имеющегося у мастера материала в точности равна площади, которую необходимо покрыть мозаикой.

Ответ: Да, мастеру хватит мозаики.