Номер 2.449, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.449. Семья решила приобрести дачный участок. Из всех предложенных вариантов глава семьи делает выбор между участком в форме квадрата и участком прямоугольной формы, длина которого больше стороны квадрата на 3 м, а ширина — меньше стороны квадрата на 3 м. Стоимость участков одинакова. Какая покупка окажется более выгодной?

Чтобы определить, какая покупка является более выгодной, необходимо сравнить площади двух участков, так как по условию их стоимость одинакова. Выгоднее приобрести тот участок, у которого площадь больше.

1. Обозначим сторону квадратного участка как $a$ метров. Тогда его площадь, $S_{квадрата}$, будет равна: $$ S_{квадрата} = a \cdot a = a^2 \text{ (м}^2\text{)} $$

2. Согласно условию, размеры прямоугольного участка связаны со стороной квадратного участка:

• Длина прямоугольника: $a + 3$ метров
• Ширина прямоугольника: $a - 3$ метров

(Стоит отметить, что для существования такого прямоугольника, его ширина должна быть положительной величиной, то есть $a - 3 > 0$, следовательно $a > 3$ м).

3. Вычислим площадь прямоугольного участка, $S_{прямоугольника}$: $$ S_{прямоугольника} = (a + 3) \cdot (a - 3) $$ Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$. $$ S_{прямоугольника} = a^2 - 3^2 = a^2 - 9 \text{ (м}^2\text{)} $$

4. Теперь сравним полученные площади: $$ S_{квадрата} = a^2 $$ $$ S_{прямоугольника} = a^2 - 9 $$ Очевидно, что $a^2 > a^2 - 9$. Разница в площадях составляет: $$ S_{квадрата} - S_{прямоугольника} = a^2 - (a^2 - 9) = a^2 - a^2 + 9 = 9 \text{ м}^2 $$ Это означает, что площадь квадратного участка всегда на 9 квадратных метров больше площади прямоугольного участка.

Так как при одинаковой стоимости площадь квадратного участка больше, его покупка будет более выгодной.
Ответ: Более выгодной окажется покупка участка в форме квадрата.