Номер 3.221, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.221. Умножьте обе части неравенства на одно и то же число и решите полученное неравенство:

а) $\frac{5x}{7} - \frac{x}{14} \ge 1$;

б) $\frac{3x}{5} - \frac{x}{4} < 2$.

а) Исходное неравенство: $$ \frac{5x}{7} - \frac{x}{14} \geq 1 $$

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 7 и 14. В данном случае НОК(7, 14) = 14. Так как 14 > 0, знак неравенства не изменится.

$$ 14 \cdot \left(\frac{5x}{7} - \frac{x}{14}\right) \geq 14 \cdot 1 $$

Раскроем скобки, умножив каждый член на 14:

$$ \frac{14 \cdot 5x}{7} - \frac{14 \cdot x}{14} \geq 14 $$

Сократим дроби:

$$ 2 \cdot 5x - x \geq 14 $$

Выполним умножение и приведем подобные слагаемые в левой части:

$$ 10x - x \geq 14 $$ $$ 9x \geq 14 $$

Разделим обе части неравенства на 9, чтобы найти x:

$$ x \geq \frac{14}{9} $$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:

$$ x \geq 1\frac{5}{9} $$

Ответ: $x \geq 1\frac{5}{9}$

б) Исходное неравенство: $$ \frac{3x}{5} - \frac{x}{4} < 2 $$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 4. НОК(5, 4) = 20. Так как 20 > 0, знак неравенства не изменится.

$$ 20 \cdot \left(\frac{3x}{5} - \frac{x}{4}\right) < 20 \cdot 2 $$

Раскроем скобки:

$$ \frac{20 \cdot 3x}{5} - \frac{20 \cdot x}{4} < 40 $$

Сократим дроби:

$$ 4 \cdot 3x - 5 \cdot x < 40 $$

Выполним умножение и приведем подобные слагаемые:

$$ 12x - 5x < 40 $$ $$ 7x < 40 $$

Разделим обе части неравенства на 7:

$$ x < \frac{40}{7} $$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:

$$ x < 5\frac{5}{7} $$

Ответ: $x < 5\frac{5}{7}$