Номер 3.224, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.224. Умножьте обе части неравенства на одно и то же число и решите полученное неравенство:

a) $ \frac{3}{5}(4x + 3) > 4x - 3 $;

б) $ \frac{1}{3}(x + 1) - \frac{1}{6}(x + 2) \ge 2 $.

а) Дано неравенство:

$\frac{3}{5}(4x + 3) > 4x - 3$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$5 \cdot \frac{3}{5}(4x + 3) > 5 \cdot (4x - 3)$

После упрощения получаем:

$3(4x + 3) > 20x - 15$

Раскроем скобки:

$12x + 9 > 20x - 15$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$9 + 15 > 20x - 12x$

$24 > 8x$

Разделим обе части на 8:

$3 > x$

Запишем ответ в стандартном виде:

$x < 3$

Ответ: $x < 3$.

б) Дано неравенство:

$\frac{1}{3}(x + 1) - \frac{1}{6}(x + 2) \ge 2$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$6 \cdot \left(\frac{1}{3}(x + 1) - \frac{1}{6}(x + 2)\right) \ge 6 \cdot 2$

Выполним умножение для каждого члена:

$2(x + 1) - 1(x + 2) \ge 12$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:

$2x + 2 - x - 2 \ge 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2x - x) + (2 - 2) \ge 12$

$x \ge 12$

Ответ: $x \ge 12$.