Номер 3.225, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.225. Решите неравенство:

а) $2x - \frac{x+1}{2} \le \frac{x-1}{3}$;

б) $\frac{x-3}{3} - x > \frac{x+1}{5}$.

а) $2x - \frac{x+1}{2} \le \frac{x-1}{3}$

Для решения этого линейного неравенства необходимо избавиться от знаменателей. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 2 и 3. НОК(2, 3) = 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (2x - \frac{x+1}{2}) \le 6 \cdot \frac{x-1}{3}$

Применим распределительный закон умножения:

$6 \cdot 2x - 6 \cdot \frac{x+1}{2} \le 6 \cdot \frac{x-1}{3}$

$12x - 3(x+1) \le 2(x-1)$

Теперь раскроем скобки:

$12x - 3x - 3 \le 2x - 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x - 3 \le 2x - 2$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а постоянные слагаемые — в правую, меняя их знаки при переносе:

$9x - 2x \le -2 + 3$

$7x \le 1$

Разделим обе части неравенства на 7 (так как 7 > 0, знак неравенства не меняется):

$x \le \frac{1}{7}$

Ответ: $x \le \frac{1}{7}$

б) $\frac{x-3}{3} - x > \frac{x+1}{5}$

Для решения этого неравенства также избавимся от дробей. Найдем наименьшее общее кратное для знаменателей 3 и 5. НОК(3, 5) = 15. Умножим обе части неравенства на 15:

$15 \cdot (\frac{x-3}{3} - x) > 15 \cdot \frac{x+1}{5}$

Применим распределительный закон:

$15 \cdot \frac{x-3}{3} - 15 \cdot x > 15 \cdot \frac{x+1}{5}$

$5(x-3) - 15x > 3(x+1)$

Раскроем скобки:

$5x - 15 - 15x > 3x + 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-10x - 15 > 3x + 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$-10x - 3x > 3 + 15$

$-13x > 18$

Разделим обе части неравенства на -13. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{18}{-13}$

$x < -\frac{18}{13}$

Теперь представим неправильную дробь в виде смешанного числа (выделим целую часть):

$-\frac{18}{13} = -(1\frac{5}{13}) = -1\frac{5}{13}$

Таким образом, решение неравенства:

$x < -1\frac{5}{13}$

Ответ: $x < -1\frac{5}{13}$