Номер 3.231, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.231. Решите неравенство:

a) $7x^2 - (7x-1)(x+2) < 9x+4;$

б) $(3x+1)(x-1) - 3x^2 > 5-2x;$

в) $(x+1)(x+2) - (x-3)(x+4) \ge 6;$

г) $(x-1)(2x-2) \le (2x-1)(x+2).$

Раскроем скобки и упростим выражение в левой части неравенства:

$(7x - 1)(x + 2) = 7x \cdot x + 7x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2 = 7x^2 + 14x - x - 2 = 7x^2 + 13x - 2$

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$7x^2 - (7x^2 + 13x - 2) < 9x + 4$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$7x^2 - 7x^2 - 13x + 2 < 9x + 4$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$-13x + 2 < 9x + 4$

Соберем все слагаемые с $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой:

$2 - 4 < 9x + 13x$

$-2 < 22x$

Разделим обе части на 22 (так как 22 > 0, знак неравенства не меняется) и сократим дробь:

$x > -\frac{2}{22}$

$x > -\frac{1}{11}$

Ответ: $x > -\frac{1}{11}$

Раскроем скобки в левой части:

$(3x + 1)(x - 1) = 3x^2 - 3x + x - 1 = 3x^2 - 2x - 1$

Подставим в неравенство:

$(3x^2 - 2x - 1) - 3x^2 > 5 - 2x$

Упростим, приведя подобные слагаемые:

$3x^2 - 2x - 1 - 3x^2 > 5 - 2x$

$-2x - 1 > 5 - 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$-2x + 2x > 5 + 1$

$0 \cdot x > 6$

$0 > 6$

Полученное неравенство является ложным при любом значении $x$.

Ответ: решений нет.

Раскроем скобки в каждом произведении:

$(x + 1)(x + 2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

$(x - 3)(x + 4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12$

Подставим эти выражения в неравенство:

$(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + x - 12) \ge 6$

Раскроем вторые скобки:

$x^2 + 3x + 2 - x^2 - x + 12 \ge 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (3x - x) + (2 + 12) \ge 6$

$2x + 14 \ge 6$

Решим полученное линейное неравенство:

$2x \ge 6 - 14$

$2x \ge -8$

$x \ge \frac{-8}{2}$

$x \ge -4$

Ответ: $x \ge -4$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(x - 1)(2x - 2) = 2x^2 - 2x - 2x + 2 = 2x^2 - 4x + 2$

Правая часть: $(2x - 1)(x + 2) = 2x^2 + 4x - x - 2 = 2x^2 + 3x - 2$

Подставим в неравенство:

$2x^2 - 4x + 2 \le 2x^2 + 3x - 2$

Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:

$2 + 2 \le 3x + 4x$

$4 \le 7x$

Разделим обе части на 7 (знак неравенства не меняется):

$\frac{4}{7} \le x$

Это эквивалентно записи:

$x \ge \frac{4}{7}$

Ответ: $x \ge \frac{4}{7}$