Номер 3.239, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.239* Найдите значение $a$, при котором неравенство $ax < 5x - 3$ не имеет решений. Существует ли такое значение $a$, при котором решением данного неравенства является любое число?

Дано неравенство: $ax < 5x - 3$.

Для анализа этого неравенства с параметром $a$ преобразуем его, собрав все члены с переменной $x$ в одной части:

$ax - 5x < -3$

Теперь вынесем $x$ за скобки:

$x(a - 5) < -3$

Дальнейшее решение зависит от знака выражения в скобках, то есть $(a - 5)$.

Найдите значение a, при котором неравенство не имеет решений.

Неравенство вида $k \cdot x < b$ не имеет решений, если коэффициент при $x$ равен нулю ($k=0$), а само неравенство превращается в неверное числовое утверждение.

Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:

$a - 5 = 0 \implies a = 5$

Подставим это значение $a=5$ в наше преобразованное неравенство $x(a - 5) < -3$:

$x(5 - 5) < -3$

$x \cdot 0 < -3$

$0 < -3$

Полученное неравенство $0 < -3$ является ложным при любом значении переменной $x$. Это означает, что не существует такого $x$, которое удовлетворяло бы исходному неравенству.

Ответ: 5

Существует ли такое значение a, при котором решением данного неравенства является любое число?

Решением неравенства является любое число, если оно сводится к верному числовому неравенству, которое не зависит от $x$. Это также возможно только в случае, когда коэффициент при $x$ равен нулю.

Мы уже установили, что коэффициент при $x$ обращается в ноль при $a = 5$. В этом случае неравенство принимает вид:

$0 < -3$

Это утверждение ложно, а не истинно.

Если же коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a \neq 5$, то мы всегда можем разделить обе части неравенства на $(a-5)$:

• Если $a - 5 > 0$ (т.е. $a > 5$), то $x < \frac{-3}{a-5}$. Решением является интервал, а не все числа.
• Если $a - 5 < 0$ (т.е. $a < 5$), то при делении знак неравенства меняется: $x > \frac{-3}{a-5}$. Решением также является интервал, а не все числа.

Следовательно, не существует такого значения $a$, при котором решением неравенства было бы любое число.

Ответ: не существует.