Номер 4.25, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.25. Ученик купил $a$ обложек по 10 к. и $b$ тетрадей по 15 к., уплатив за всю покупку 95 к. Сколько тетрадей купил ученик? Найдите все решения.

Пусть a — количество купленных обложек, а b — количество купленных тетрадей.

Стоимость всех обложек составляет $10 \cdot a$ копеек, а стоимость всех тетрадей — $15 \cdot b$ копеек. Общая сумма покупки равна 95 копейкам. На основе этих данных мы можем составить следующее уравнение:

$$10a + 15b = 95$$

Поскольку a и b — это количество предметов, они должны быть целыми и неотрицательными числами (то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$).

Для упрощения решения разделим все члены уравнения на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$$(10a \div 5) + (15b \div 5) = (95 \div 5)$$

$$2a + 3b = 19$$

Теперь нам необходимо найти все пары целых неотрицательных чисел (a, b), которые являются решением этого уравнения. Выразим b через a:

$$3b = 19 - 2a$$

$$b = \frac{19 - 2a}{3}$$

Так как b должно быть целым числом, выражение $(19 - 2a)$ должно делиться на 3 без остатка. Кроме того, из условия $b \ge 0$ следует, что $19 - 2a \ge 0$, откуда $2a \le 19$, то есть $a \le 9.5$.

Будем перебирать все целые значения a от 0 до 9 и находить соответствующие значения b.

• При a = 0, $b = 19/3$ (не целое).
• При a = 1, $b = 17/3$ (не целое).
• При a = 2, $b = 15/3 = 5$ (целое). Найдено первое решение.
• При a = 3, $b = 13/3$ (не целое).
• При a = 4, $b = 11/3$ (не целое).
• При a = 5, $b = 9/3 = 3$ (целое). Найдено второе решение.
• При a = 6, $b = 7/3$ (не целое).
• При a = 7, $b = 5/3$ (не целое).
• При a = 8, $b = 3/3 = 1$ (целое). Найдено третье решение.
• При a = 9, $b = 1/3$ (не целое).

Таким образом, существует три возможных варианта покупки.