Номер 4.26, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.26. Семиклассники выполняли тест, содержащий задания по алгебре и по геометрии. За каждый верный ответ на алгебраический вопрос выставлялось 4 балла, а на геометрический — 5 баллов. Семиклассник верно ответил на все вопросы и получил 65 баллов. Сколько в тесте могло быть заданий по алгебре и по геометрии?

Пусть $a$ — количество заданий по алгебре, а $g$ — количество заданий по геометрии. По условию задачи, за каждый верный ответ на алгебраический вопрос давали 4 балла, а на геометрический — 5 баллов. Семиклассник верно ответил на все вопросы и получил 65 баллов.

Составим уравнение, исходя из этих данных:

$4a + 5g = 65$

Поскольку $a$ и $g$ представляют собой количество заданий, они должны быть целыми положительными числами.

Выразим одну переменную через другую. Например, выразим $g$: $5g = 65 - 4a$ $g = \frac{65 - 4a}{5}$ $g = 13 - \frac{4}{5}a$

Чтобы $g$ было целым числом, необходимо, чтобы $4a$ делилось на 5. Так как числа 4 и 5 взаимно простые, то $a$ должно быть кратно 5.

Также, поскольку количество заданий по геометрии $g$ должно быть положительным ($g > 0$), имеем: $13 - \frac{4}{5}a > 0$ $13 > \frac{4}{5}a$ $65 > 4a$ $a < \frac{65}{4}$

Чтобы определить максимальное значение для $a$, выделим целую часть из неправильной дроби: $a < 16\frac{1}{4}$.

Итак, нам нужно найти все целые положительные значения $a$, которые кратны 5 и меньше $16\frac{1}{4}$.
Возможные значения для $a$: 5, 10, 15.

Рассмотрим каждый возможный случай.

Пусть количество заданий по алгебре $a = 5$. Найдем соответствующее количество заданий по геометрии $g$:
$g = 13 - \frac{4}{5} \cdot 5 = 13 - 4 = 9$.
Проверка: $4 \cdot 5 + 5 \cdot 9 = 20 + 45 = 65$.
Этот вариант возможен.

Ответ: 5 заданий по алгебре и 9 заданий по геометрии.

Пусть количество заданий по алгебре $a = 10$. Найдем $g$:
$g = 13 - \frac{4}{5} \cdot 10 = 13 - 8 = 5$.
Проверка: $4 \cdot 10 + 5 \cdot 5 = 40 + 25 = 65$.
Этот вариант также возможен.

Ответ: 10 заданий по алгебре и 5 заданий по геометрии.

Пусть количество заданий по алгебре $a = 15$. Найдем $g$:
$g = 13 - \frac{4}{5} \cdot 15 = 13 - 12 = 1$.
Проверка: $4 \cdot 15 + 5 \cdot 1 = 60 + 5 = 65$.
Этот вариант тоже возможен.

Ответ: 15 заданий по алгебре и 1 задание по геометрии.