Номер 4.28, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.28. Вычислите: $\frac{2^7 \cdot 2^9}{8 \cdot 2^{11}}$

Требуется вычислить значение выражения: $$ \frac{2^7 \cdot 2^9}{8 \cdot 2^{11}} $$

Для решения данной задачи необходимо привести все множители к одному основанию (в данном случае к основанию 2) и воспользоваться свойствами степеней:

• При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Шаг 1: Упрощение числителя.
Используя свойство умножения степеней, сложим их показатели: $$ 2^7 \cdot 2^9 = 2^{7+9} = 2^{16} $$

Шаг 2: Упрощение знаменателя.
Сначала представим число 8 в виде степени с основанием 2: $$ 8 = 2^3 $$ Теперь знаменатель имеет вид $2^3 \cdot 2^{11}$. Применим свойство умножения степеней: $$ 2^3 \cdot 2^{11} = 2^{3+11} = 2^{14} $$

Шаг 3: Выполнение деления.
Подставим упрощенные значения числителя и знаменателя в исходное выражение: $$ \frac{2^{16}}{2^{14}} $$ Используя свойство деления степеней, вычтем показатели: $$ 2^{16-14} = 2^2 $$

Шаг 4: Окончательное вычисление.
Возведем 2 в степень 2: $$ 2^2 = 4 $$

Ответ: 4