Номер 4.158, страница 296 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.158. Жирность молока составляет $3\%$, а жирность сливок — $18\%$. Сколько литров молока и сливок нужно взять, чтобы получить $10$ л смеси жирностью $6\%$?

Условие: Жирность молока составляет 3%, а жирность сливок — 18%. Сколько литров молока и сливок нужно взять, чтобы получить 10 л смеси жирностью 6%?

Подробное решение:

Для решения задачи воспользуемся методом составления системы линейных уравнений. Введем переменные:

• Пусть $m$ — необходимое количество молока в литрах.
• Пусть $c$ — необходимое количество сливок в литрах.

Шаг 1: Составление первого уравнения (по общему объему).

По условию, общий объем смеси должен составлять 10 литров. Это сумма объемов молока и сливок:

$$ m + c = 10 $$

Шаг 2: Составление второго уравнения (по массе жира).

Масса жира в каждом компоненте равна произведению его объема на процент жирности (выраженный в долях).

• Масса жира в молоке: $m \cdot 0.03$
• Масса жира в сливках: $c \cdot 0.18$

Масса жира в итоговой смеси должна составлять 6% от 10 литров, то есть:

$$ 10 \cdot 0.06 = 0.6 \text{ л} $$

Сумма массы жира из молока и сливок должна быть равна массе жира в конечной смеси. Получаем второе уравнение:

$$ 0.03m + 0.18c = 0.6 $$

Шаг 3: Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} m + c = 10 \\ 0.03m + 0.18c = 0.6 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим переменную $m$:

$$ m = 10 - c $$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$$ 0.03(10 - c) + 0.18c = 0.6 $$

Теперь решим полученное уравнение относительно $c$:

$$ 0.3 - 0.03c + 0.18c = 0.6 $$

$$ 0.15c = 0.6 - 0.3 $$

$$ 0.15c = 0.3 $$

$$ c = \frac{0.3}{0.15} = 2 $$

Таким образом, для смеси необходимо 2 литра сливок.

Теперь найдем объем молока, подставив найденное значение $c$ в выражение для $m$:

$$ m = 10 - 2 = 8 $$

Следовательно, для смеси необходимо 8 литров молока.

Ответы на вопросы задачи:

Сколько литров молока нужно взять, чтобы получить 10 л смеси жирностью 6%?
Для приготовления смеси потребуется 8 литров молока с жирностью 3%.
Ответ: 8 л.

Сколько литров сливок нужно взять, чтобы получить 10 л смеси жирностью 6%?
Для приготовления смеси потребуется 2 литра сливок с жирностью 18%.
Ответ: 2 л.