Номер 4.164, страница 297 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.164. Утроенная сумма цифр некоторого двузначного числа дает исходное число. Сумма цифр этого числа и 63 дает двузначное число, перестановка цифр которого дает данное число. Найдите данное число.

Для решения задачи обозначим искомое двузначное число как $\overline{ab}$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. В десятичной системе счисления это число записывается как $10a + b$. При этом $a$ является целым числом от 1 до 9, а $b$ — целым числом от 0 до 9.

Составим систему уравнений на основе условий, данных в задаче.

Сумма цифр числа равна $a+b$. Согласно первому условию, утроенная сумма цифр равна исходному числу:

$3(a + b) = 10a + b$

Упростим это уравнение:

$3a + 3b = 10a + b$

$3b - b = 10a - 3a$

$2b = 7a$

Число, полученное перестановкой цифр исходного числа $\overline{ab}$, это число $\overline{ba}$, которое равно $10b + a$.

Сумма цифр исходного числа, сложенная с 63, равна этому новому числу:

$(a + b) + 63 = 10b + a$

Упростим второе уравнение, вычтя $a$ из обеих частей:

$b + 63 = 10b$

$63 = 10b - b$

$63 = 9b$

Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 2b = 7a \\ 9b = 63 \end{cases} $

Из второго уравнения легко найти значение $b$:

$b = \frac{63}{9}$

$b = 7$

Теперь подставим найденное значение $b=7$ в первое уравнение, чтобы найти $a$:

$2 \cdot 7 = 7a$

$14 = 7a$

$a = \frac{14}{7}$

$a = 2$

Таким образом, цифра десятков $a=2$, а цифра единиц $b=7$. Искомое двузначное число — 27.

Выполним проверку, чтобы убедиться в правильности решения.

• Проверка первого условия: утроенная сумма цифр $3 \cdot (2+7) = 3 \cdot 9 = 27$. Это равно исходному числу 27. Условие выполнено.
• Проверка второго условия: сумма цифр плюс 63 равна $(2+7) + 63 = 9 + 63 = 72$. Число 72 — это число 27 с переставленными цифрами. Условие выполнено.

Решение найдено верно.

Ответ: 27