Номер 4.165, страница 297 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.165. Составьте задачу, которая решалась бы с помощью системы уравнений:

a) $\begin{cases} x + y = 10, \\ x - y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x + 5y = 32, \\ 2x + 3y = 20. \end{cases}$

Для каждой системы уравнений составим текстовую задачу и решим ее.

а) Задача: В двух коробках вместе лежит 10 карандашей. В первой коробке на 4 карандаша больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке?

Решение:

Обозначим количество карандашей в первой коробке через $x$, а во второй — через $y$.

Исходя из условия, что всего карандашей 10, получаем первое уравнение: $x + y = 10$.

Из условия, что в первой коробке на 4 карандаша больше, получаем второе уравнение: $x - y = 4$.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 10, \\ x - y = 4. \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 10 + 4$

$2x = 14$

$x = 7$

Теперь подставим найденное значение $x = 7$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$7 + y = 10$

$y = 10 - 7$

$y = 3$

Таким образом, в первой коробке 7 карандашей, а во второй — 3.

Ответ: в первой коробке 7 карандашей, во второй — 3 карандаша.

б) Задача: Покупатель заплатил 32 монеты за 3 ручки и 5 блокнотов. В другой раз за 2 такие же ручки и 3 блокнота он заплатил 20 монет. Сколько стоит одна ручка и один блокнот?

Решение:

Пусть стоимость одной ручки — $x$ монет, а стоимость одного блокнота — $y$ монет.

За 3 ручки и 5 блокнотов заплатили 32 монеты, что можно записать как уравнение: $3x + 5y = 32$.

За 2 ручки и 3 блокнота заплатили 20 монет, что дает нам второе уравнение: $2x + 3y = 20$.

Составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 32, \\ 2x + 3y = 20. \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 32 & |\cdot 2 \\ 2x + 3y = 20 & |\cdot (-3) \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 10y = 64, \\ -6x - 9y = -60. \end{cases} $

Теперь сложим полученные уравнения:

$(6x + 10y) + (-6x - 9y) = 64 + (-60)$

$y = 4$

Мы нашли, что стоимость одного блокнота — 4 монеты. Подставим это значение во второе исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$2x + 3 \cdot 4 = 20$

$2x + 12 = 20$

$2x = 20 - 12$

$2x = 8$

$x = 4$

Таким образом, стоимость одной ручки также составляет 4 монеты.

Ответ: одна ручка стоит 4 монеты, один блокнот стоит 4 монеты.