Номер 4.162, страница 296 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.162. Если первое число сложить с половиной второго, то получится 65, а если из второго вычесть $\frac{1}{3}$ первого, то получится первое число. Найдите эти числа.

Для решения задачи введем переменные. Пусть первое число будет $x$, а второе число — $y$.

На основе условий задачи составим систему из двух уравнений.

1. "Если первое число сложить с половиной второго, то получится 65":

$x + \frac{1}{2}y = 65$

2. "Если из второго вычесть $\frac{1}{3}$ первого, то получится первое число":

$y - \frac{1}{3}x = x$

Получаем следующую систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + \frac{1}{2}y = 65 \\ y - \frac{1}{3}x = x \end{cases} $$

Сначала преобразуем второе уравнение, чтобы выразить $y$ через $x$:

$y = x + \frac{1}{3}x$

$y = \frac{3}{3}x + \frac{1}{3}x$

$y = \frac{4}{3}x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4}{3}x\right) = 65$

Упростим выражение:

$x + \frac{4}{6}x = 65$

$x + \frac{2}{3}x = 65$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3}{3}x + \frac{2}{3}x = 65$

$\frac{5}{3}x = 65$

Теперь найдем значение $x$:

$x = 65 \div \frac{5}{3} = 65 \cdot \frac{3}{5}$

$x = \frac{65 \cdot 3}{5} = 13 \cdot 3 = 39$

Итак, первое число равно 39. Теперь найдем второе число, подставив значение $x$ в выражение $y = \frac{4}{3}x$:

$y = \frac{4}{3} \cdot 39 = 4 \cdot \frac{39}{3} = 4 \cdot 13 = 52$

Второе число равно 52.

Проверим найденные значения. Подставим их в исходные условия:

1. $39 + \frac{1}{2} \cdot 52 = 39 + 26 = 65$. (Верно)

2. $52 - \frac{1}{3} \cdot 39 = 52 - 13 = 39$. (Верно, так как $39=x$)

Первое искомое число равно 39.

Ответ: 39

Второе искомое число равно 52.

Ответ: 52