Номер 4.166, страница 297 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.166*. Теплоход, двигаясь по течению реки, прошел расстояние между пристанями за 10 ч. Обратно он прошел это же расстояние за 15 ч. Найдите, за какое время теплоход прошел бы такое же расстояние по озеру.

Составьте математическую модель для решения задачи и найдите ответ в соответствии с требованием задачи.

Для решения этой задачи необходимо составить математическую модель, описывающую движение теплохода по реке и в стоячей воде (озере).

Составление математической модели

Введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пристанями;
• $v_т$ — собственная скорость теплохода (его скорость в стоячей воде, например, в озере);
• $v_р$ — скорость течения реки.

Исходя из условия задачи, мы знаем:

• Время движения по течению: $t_1 = 10$ ч.
• Время движения против течения: $t_2 = 15$ ч.

Скорость теплохода при движении по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_т + v_р$.

Скорость теплохода при движении против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_т - v_р$.

Используя основную формулу движения $S = v \cdot t$, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Движение по течению: $S = (v_т + v_р) \cdot 10$
2. Движение против течения: $S = (v_т - v_р) \cdot 15$

Цель задачи — найти время $t_о$, за которое теплоход пройдет расстояние $S$ по озеру. В озере скорость течения равна нулю, поэтому теплоход будет двигаться со своей собственной скоростью $v_т$. Таким образом, нам нужно найти $t_о$ из уравнения: $S = v_т \cdot t_о$, откуда $t_о = \frac{S}{v_т}$.

Решение

Выразим скорости из первых двух уравнений:

$v_т + v_р = \frac{S}{10}$

$v_т - v_р = \frac{S}{15}$

Мы получили систему линейных уравнений. Чтобы найти собственную скорость теплохода $v_т$, сложим оба уравнения. При этом скорость течения $v_р$ сократится:

$(v_т + v_р) + (v_т - v_р) = \frac{S}{10} + \frac{S}{15}$

$2v_т = S \cdot \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}\right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю (30):

$2v_т = S \cdot \left(\frac{3}{30} + \frac{2}{30}\right)$

$2v_т = S \cdot \frac{5}{30}$

$2v_т = S \cdot \frac{1}{6}$

Отсюда находим собственную скорость теплохода:

$v_т = \frac{S}{12}$

Теперь, зная собственную скорость, мы можем найти время движения по озеру $t_о$:

$t_о = \frac{S}{v_т} = \frac{S}{\frac{S}{12}} = S \cdot \frac{12}{S} = 12$ часов.

Найдите, за какое время теплоход прошел бы такое же расстояние по озеру.

Ответ: 12 часов.