Номер 4.173, страница 298 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.173. На двух полках стояло 210 книг. Когда с верхней полки убрали половину книг, а на нижней увеличили их число вдвое, то на двух полках стало 180 книг. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений, чтобы найти первоначальное количество книг на каждой полке.

• Пусть $x$ — первоначальное количество книг на верхней полке.
• Пусть $y$ — первоначальное количество книг на нижней полке.

1. Составление системы уравнений

Из условий задачи мы можем составить два уравнения:

1. Изначально на двух полках было 210 книг. Это дает нам первое уравнение:

   $x + y = 210$

2. Когда с верхней полки убрали половину книг (осталось $\frac{x}{2}$), а на нижней их число увеличили вдвое (стало $2y$), общее количество книг на двух полках стало 180. Это дает нам второе уравнение:

   $\frac{x}{2} + 2y = 180$

Таким образом, мы получили систему уравнений:

2. Решение системы уравнений

Сначала выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 210 - y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$\frac{210 - y}{2} + 2y = 180$

Решим полученное уравнение для нахождения $y$:

$105 - \frac{y}{2} + 2y = 180$

$105 + \frac{3}{2}y = 180$

$\frac{3}{2}y = 180 - 105$

$\frac{3}{2}y = 75$

Чтобы найти $y$, умножим обе части на $\frac{2}{3}$:

$y = 75 \cdot \frac{2}{3} = \frac{150}{3} = 50$

Итак, мы нашли, что на нижней полке первоначально было 50 книг.

Теперь найдем количество книг на верхней полке ($x$), подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = 210 - 50 = 160$

Следовательно, на верхней полке первоначально было 160 книг.

3. Проверка

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи:

• Начальное количество: $160 + 50 = 210$ книг. (Верно)
• Количество после изменений: $\frac{160}{2} + 2 \cdot 50 = 80 + 100 = 180$ книг. (Верно)

Решение найдено верно. Теперь сформулируем ответ.

На верхней полке
Первоначально на верхней полке стояло 160 книг.
Ответ: 160

На нижней полке
Первоначально на нижней полке стояло 50 книг.
Ответ: 50